26、《高等数学》（第七版）下册习题全解=1+/3cost(0≤I<2T).=3sint0=acos o,6.求螺旋线人Y=gsine，在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程[z=be解由x=acos?,y=asin?得x+y2=a，故该螺旋线在xOy面上的投影曲线[x? +y?=a?的直角坐标方程为z=0.一，故该螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐由y=asinの，z=bo得y=asin-b7y=asinb标方程为[x=0.，故该螺旋线在x0z面上的投影曲线的直角坐由x=acose,z=b得x=acos5Nx=acosb标方程为ly=0.7.求上半球0≤≤/a2-x-与圆柱体x+y≤ax（a>0）的公共部分在x0面和x0z面上的投影解如图8-16.所求立体在xOy面上的投影即为x2+≤ax，而由[z=Va?-x?-y2x? +y2 =ax得z=a?-ax.故所求立体在xOz面上的投影为由x轴，=轴及曲线：=a-ax所围成的区域图8-16
第八章向量代数与空间解析几何278.求旋转抛物面z=x2+2（0≤z≤4）在三坐标面上的投影[z=x?+得x+y2=4.故旋转抛物面在xOy面上的投影为解联立z = 4x2 +y2≤4[z=0.如图8-17.C图8-17得z=y2故旋转抛物面在yOz面上的投影为由z=y2及z=4联=0所围成的区域得z=x2.故旋转抛物面在x0z面上的投影为由z=x?及同理，联立Ly=02=4所围成的区域总习题八S1.填空：（1）设在坐标系[O；ij,k中点A和点M的坐标依次为（xo，yo，zo）和（x，，向量OM的坐标y，z），则在【A；ij,k］坐标系中，点M的坐标为为:（2）设数入，入2，入，不全为0，使^，a+入2b+入,c=0，则a，b，c三个向量是的；（3）设a=（2,1,2),b=（4,-1,10),c=b-入a,且a1c,则入=（4）设|a|=3，|b|=4,/c=5且满足a+b+c=0,则|a×b+b×c+c×a|为（x-xo,y-yo，z-zo），向量OM的坐标为（x-xo+解（1）点M的坐标为
28一、《高等数学》（第七版）下册习题全解xo,y-yo+yo,z-zo+zo)=(x,yz)2）由[（入a+^,b+^c）xb]-c=0得（axb）.c=0,即a,b,c共面(3)c=b-入a=(4,-1.10)-入(2.1.2)=(4-2入.-1-入.10-2A).a1c，故ac=（2,1,2）·（4-2入，-1-入，10-2入）=27-9入=0,从而入=3(4）由（a+b+c)xb=0知axb+cxb=0,即axb=bxc:由(a+b+c)xa=o知bxa+cxa=o,即axb=cxa.又，由【a2+|b|2=|c|2知以向量a，b,c为边的三角形为直角三角形，且alb.故laxb+bxc+cxal=3laxbl=3lalbsin(a.b=3×3×4×1=362.下列两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：[x-y+z=l,（1）设直线L的方程为则L的参数方程为（);[2x+y+z=4,x=1-21,x=1-21,x=1-21.rx=1-2t,(A)(B)y=l+t,y=-l+t,(C)=1-,(D)y=-1-1.[z=1 +31[z=1+3]Lz=1+312=1+31).（2）下列结论中，错误的是（（A）+2x2+y=0表示椭圆抛物面（B）x2+2=1+32表示双叶双曲面（C）x2+2-（z-1)2=0表示圆锥面（D）y2=5x表示抛物柱面解（1）应选（A）.直线L的方向向量为S=（-2，13），过点（1，1,1），（2）应选（B）.x2+22=1+3：2表示单叶双曲面3.在y轴上求与点A（1，-37）和点B（5,7，-5）等距离的点，解根据题意，设所求点为M（0.y0），由12 +(y +3)2 +72=52 + (y -7)2 +(-5)2,得y=2.故所求点为M（0,20）.4.已知△ABC的顶点为A（3,2，-1）.B（5，-47）和C（-1.1.2）.求从顶点C所引中线的长度解设AB中点的坐标为（xoYo，），由3.+52-47-1=3=4.yo-1.Xo=2n222从而顶点C所引中线的长度d=/(4+1)2+(-1-1)2+(3-2)*=/305.设△ABC的三边BC=a.CA=bAB=c，边中点依次为D.E.F.试用向量a.b.c
29第八章向量代数与空间解析几何表示AD.BE，CF，并证明AD+BE+CF=0证如图8-18，D，E，F分别为BC,CA，AB的中点，因此CE-CA-，AF-HAB-BD-BC-9a2，2，2222aAD=AB+BD=C+从而2,bBE=BC+CE=a+2CF=CA+AF=b+C2b+b+=.3故AD++CF=c+号+a+-(a+b+c)=0+22226.试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半，证如图8-19,DE分别是CA与BC的中点由AB=AC+CB=2(DC+CE)=2DE知[E|=AB].AB//DE且2即三角形两边中点的连线平行于第三边，且长度等于第三边长度的一半cCNBFBA图8-19图8-187.设|a+b=|a-b/,a=(3,-5,8),b=(-1,1,z),求z.解a+b=(3-1,-5+1,8+z)=(2,-4,8+z),a-b=(3-(-1),-5-1,8-z)=(4,-6,8-2),由|a+b=|a-b|知/22 +(-4)2 + (8 +z)2=/42 +(-6)2 + (8 -2)2经整理得z=1.8.设|a|=/3lb|=1,（a,b）=，求向量a+b与a-b的爽角。6解la+b2=(a+b)(a+b)=[a|2+|b|2+2|allb/cos(a,b)
30、《高等数学》（第七版）下册习题全解7=(/3)2 +12+2. /3. 1*cOS6=4+2/3.V3=7.2la-b2=(a-b).(a-b)=|a/2+|b2-2|a|lb|cos(a.b)T=(/3)2 +12-2: /3.1 . c0s6=4-2V3.3=12(a+b)(a-b)=|a2-|b2=3-1=2故2(a+b)-(a-b)2cos(a+b,a-b)=a+blla-b1厅2所以(a+ba-b)=arccosV79.设a+3b17a-5b，a-4b17a-2b.求（a.b)解由a+3b17a-5b知（a+3b）（7a-5b）=0.由a-4bl7a-2b知（a4b）：（7a-2b）=0，故7a|2+16a.b-15|b|2=0,(1)7|a|2-30a.b+8|b/2=0(2)1|b|2,代人(1)式得两式相减得46a·b=23b2，即a·b=2[a|=[bl.a·ba·b1从面cos (a.b)alb1b/22(a.b)=Ⅱ所以310.设a=（2，-1，-2），b=（1,1,2），问为何值时（a.b）最小？并求出此最小值a.b(2,-1,-2)(1.1.0)解cos(a,b)=alb23+(-1)2+(-2)2.V1+13+:1-223/2+21-2,设z）则3/2+2