第八章31向量代数与空间解析几何22/2+22-(1-2z)V2+z1f(2) :32+2214-(2 +2)3/23令f（=）=0得z=-4时，cos（a.b）为单调减少函数.(z)取得最大值时，由于0≤（a,b）≤2g=（a.b）达到最小值经验证z=-4时，f（z）达到最大值，此时=（a,b）达到最小值且由/2/2Tcos (a.b)max，知mn=arccos2,2-4，求以a+2b和a-3b为边的平行四边形的11.设|a|=4，b|=3.（a.b）=6面积.根据向量积的几何意义知以a+2b和a-3b为边的平行四边形的面积解#S=|(a+2b)x(a-3b)l=5|axb|=5la|[b|sin(a.b)1==5×4×3x=5×4×3×sin-=302612.设a=（2，-3,1）),b=（1，-2,3）,c=（2,1,2），向量r满足r1a，rb,Prjr=14,求r.解设向量r=（x,y,z).由ra知r·a=o,即2x-3y+z=0由rb知·b=0,即x-2y+3z=0=14知由Pri.r:c2x+?+2z=14|c=14×3=42联立上述三个方程得x=14，y=10，z=2.故r=（14.10，2）13.设a=（-1,3，2），b=（2，-3，-4），c=（-3,126）.证明三向量a,b,c共面，并用a和b表示c.32-1=o知[abc]=0,故三个向量a，b，c2-3-4证由(axb)c=6-312
32一、《高等数学》（第七版）下册习题全解共面设c=入a+μb，则(-3,12,6)=入(-1,3,2)+μ(2,-3,-4)=（-入+2μ,3入-3μ,2入-4μ），-入+2μ=-3即3入-3μ=12,[2-4μ=6,解得入=5,μ=1.故c=5a+b14.已知动点M（x，y，z）到xOy平面的距离与点M到点（1，-1，2）的距离相等，求点M的轨迹的方程解根据题意知1 z/ =/(x -1)2 +(y +1)2 +(z-2)2即（x-1）2+（Y+1）2=4（z-1）=0为点M的轨迹的方程15.指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴：+(2)(1) z=2(x2 +y2):一:36+936(4) x_2_ 22(3) 2 =3(x2 +y2) ;=14-4[x=0,解（1）母线为旋转轴为z轴[z=2y?rx=0.12（2）母线为22旋转轴为y轴=1.[9+36x=0,（3）母线为旋转轴为轴，Z=/3y2=0,（4）母线为旋转轴为x轴r2_y2=1.416.求通过点A（3.0.0）和B（0.0.1）且与x0面成角的平面的方程解设所求平面方程为二+六+二=1.ba平面过点A（3.0.0）.B（0.0.1），故a=3，c=1这样平面方程为X+y+2=1.3.6
33第八章向量代数与空间解析几何它与x0y面成一角，故3:(0,0,1))Tcos) +() +13.1=±261()+() +1=4,即3故所求平面为X+26y+3z=3或x-/26y+3z=3-z+1=017.设一平面垂直于平面z=0，并通过从点（1，-1,1）到直线，的垂线，x=0求此平面的方程直线[-+1=0的方向向量解x=0klij01-1=(0,-1,-1)S=100作过点（1，-1,1)且以s=（0，-1，-1)为法向量的平面：-1.(y+1)-(z-1)=0,即y+z=0,-z+1=0得垂足（0联立x=0，Ly+z=0所求平面垂直于平面z=0设平面方程为Ax+By+D=0.平面过点（1，-1,1）及垂足（0，），故有21A-B+D=0,B+D=0,2由此解得B=2D,A=D.因此所求平面方程为Dx+2Dy+D=0,即x+2y+1=018.求过点（-1,0,4)，且平行于平面3x-4y+2-10=0,又与直线*+13=号21相交的直线的方程设所求直线方程为解2-4x+1_y-0_nPm
34一、《高等数学》（第七版）下册习题全解所求直线平行于平面3x-4y+z-10=0，故有3m-4n+p=0(1)又所求直线与直线“+二=号相交.故有211-1-(-1)3-00-4112=0.mnp即10m-4n-3p=0.(2)联立（1）（2）式可得161928mnp因此所求直线方程为x + 1z-4Y161928Ly1相交，则1，与小注若两直线1：mnPim2n2P必共面，故M,M, .(s ×s2)=0,X2 -X122-21Y2-yi即有mn=0.P1m2n2P219.已知点A（1.0,0）及点B（0,2,1).试在2轴上求一点C.使△ABC的面积最小解所求点位于z轴，设其坐标为C(0.0,=），由向量的几何意义知1AB×ACI,SAABC2ijkikjAB×AC=而0-12-0121-010-10-02-010=2zi+(-1)j+2k.故V(22)2 +(:-1)2+22=5:-2:+5SAARC=2设（2）=522-22+5则由（）=102-2=0得：=因厂=10>0.当/时，△ABC的而积取得极小值，由于驻点唯故当=，即C的坐标为55
35第八章向量代数与空间解析几何(0.0.号）时，SA4Bc最小420.求曲线[3=2-+2-,[：=（x-1)2+(y-1)2在三个坐标面上的投影曲线的方程。解在["=2-2-,[-(+-1)24(y-1)中消去,得2-2-=(x-1)2+(y-1),即+-x-=0.故[+---y=0,为曲线在xOy面上的投影曲线方程z= 0在["=2--2,[.-(+-1)24(y-1),中消去),得2=(×-1) +(± 2-2 -1)”,即2x2+2xz+22-4x-3z+2=0为曲线在xOz面上2x2+2xz+22=4x-3z+2=0，故=0的投影曲线方程，[2y2 +2yz+22-4y-3z+2=0,它就是曲线在yOz面上的投影曲线同理，可得x=0.方程，21.求锥面≥=V2+2与柱面22=2x所围立体在三个坐标面上的投影在[=2+中消去；，得2%=元+，即（$-1)+产=1，故立体在x0）解在[-2=2x(x-1)2+y2≤1,（如图8-20）.面上的投影为z=0[x≤≤/2x，（如图8-20，在y0面上的投影而该立体在z0x面上的投影为y=0+≤1.0=0图8-20