16一、《高等数学》（第七版）下册习题全解kijkij236-3--=(3.1,5).=(-9,-3,-15),Sr=S2 =-2112--由S=-3s，知两直线互相平行7.求过点（0,2.4）且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量可取likj021=(-2.3.1)s=n,xn,=01-3故所求直线方程为x-0y-2z-4-231注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为[x+2:=a,ly-3=b将点（0,24）代入上式.得α=8,b=-10.故所求直线为[x+22=8.y-3z=-10.28.求过点(3.1.-2)且通过直线43-于的平面方程。521利用平面束方程，过直线-4_>+3。-二的平面束方程为解52/x-4_y+3(+352211将点（3,1，-2)代入上式得入因此所求平面方程为20x-4y+3(Y+3=0200252即8x-9y-22z-59=0[x+y+32=09.求直线与平面x--：+1=0的夹角[x-y-z=0iik1解已知直线的方向向量s=13=（2.4，-2），平面的法向n=1-11(1.-.-1)设直线与平面的夹角为$，则
第八章向量代数与空间解析几何17[2·1+4-(-1)+(-2)·(-1)s.nsin@=|cos(n,s)/=0sn22+42+(-2)2/12 +(-1)2+(-1)2即=010.试确定下列各组中的直线和平面间的关系：(1）-4-号和4x-2y-2=3;-2-7-3==和3x-2y+7z=8；(2)3--27x-2_y+2_z-3(3)和x+y+z=331-4解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n，直线与平面的夹角为，且S.nsin = |cos(n,s) [sni(1) S=(-2,-7,3),n=(4,-2,-2),(-2)· 4+(-7): (-2) +3 · (-2)=0sinp:/(-2)2 +(-7)2 +32 . /42 +(-2)2 +(-2)2即?=0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A（-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立，故点A不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行(2)s=(3,-2.7),n=（3,-2,7),由于s=n或[3·3+(-2)·(-2)+7·7sing:=132 +(-2)2 +72./32 +(-2)2 +72晋，故直线与平面垂直知=2(3）s=(3,1,-4),n=（1,1,1),由于s·n=0或[3.1+1.1+(-4)·1=0sin g:/32 +12 +(-4)2. V12+12 +12知=0，将直线上的点A（2，-2,3）代人平面方程，方程成立，即点A在平面上.故直线在平面上，11.求过点（1,2,1）而与两直线[x+2y-z+1=0,2x-y+z=0,和[x-y+z=0x-y+z-1=0平行的平面的方程解两直线的方向向量为ikijkj=(0, -1, -1),--2-2-11=(1,-2, -3),SS_ =11-11-1
18一、《高等数学》（第七版）下册习题全解ikj取-23=(-1,1, -1),n=S,XS2=0-11则过点（1，2，1），以n为法向量的平面方程为-1.(x-1)+1.(y-2)-1.(z-1)=0,即x-y+z=0.12.求点（-1,2,0）在平面x+2y-z+1=0上的投影解作过已知点且与已知平面垂直的直线，该直线与平面的交点即为所求，根据题意，过点（-1,2.0）与平面x+2y=2+1=0垂直的直线为x+1-y-2_2-012-1将它化为参数方程x=-1+l,y=2+2t,z=-t,代人平面方程得-1+t+2(2+20)-(-0)+1=0,2整理得1=从而所求点（-1,2,0）在平面x+2y-2+1=0上的投影3为(-号.2.2)333x+y-z+l=013.求点P（3，-1,2）到直线的距离[2x-y+z-4=0ikj1解直线的方向向量S=11=(0,-3,-3).21一在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式x=1,y=-2-31,z=-31.(1)又，过点P（3，-1,2），以s=（0，-3，-3）为法向量的平面方程为-3(y+1)-3(2-2)=0,即(2)y+2-1=0将式（1）代入式（2）得1=-2.于是直线与平面的交点为(1.-故所求距2.离为4-/3-1)(-1+)+(2-114.设M。是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为s.试证：点M。到直线L的距离
第八章向量代数与空间解析几何19IM.Mxs|d=[s|证如图8-9，点M。到直线L的距离为d.由向量积的几何意义知|M。M×s|表IMMxs示以M。M，s为邻边的平行四边形的面积.而表示以「s|为边长的该平[s]行四边形的高，即为点M。到直线L的距离.于是M.Mxs]d[s |ModSM图8-9[2x-4y+z=0,15.求直线在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程[3x-y-2z-9=0解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求{2x-4y+z=0,设过直线的平面束方程为[3x-y-2z-9=02x-4y+z+^(3x-y-2z-9)=0(2+3)x+(-4-^)+(1-2)z-9=0经整理得由(2+3入）.4+(-4-入):（-1)+(1-2入)·1=013代入平面束方程，得得入117x+31y-37z-117=0因此所求投影直线的方程为17x+31y-37z-117=0,[4x -y+z=1.16.画出下列各平面所围成的立体的图形：(1)x=0,y=0,z=0,x=2.y=13x+4y+2z-12=0:(2)x=0,z=0,x=1,=2,2=4（2）如图8-10（b）.解（1）如图8-10（a）：
20一、《高等数学》（第七版）下册习题全解2I24(a)(b)图8-10习题8-5曲面及其方程1.一球面过原点及A（4,0,0），B（1,3,0）和C（0.0，-4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径，解设所求球面的方程为（x-a）2+（y-b）2+（2-c)2=R2,将已知点的坐标代入上式，得a?+62+c2=R?,(1)(a-4)2+b2+c2=R2,(2)(a-1)2+(b-3)2+c2=R2,(3)a2+62+(4+c)2=R2(4)联立（1）（2）得a=2，联立（1）（4）得c=-2，将a=2代人（2）（3）并联立得6=1.故R=3.因此所求球面方程为（x-2）2+（y-1）2+（z+2）2=9,其中球心坐标为（2,1、-2），半径为32.建立以点（1，3，-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程解设以点（1,3，-2）为球心，R为半径的球面方程为(x-1)2 +(y-3)2 +(z+2)2=R2.球面过原点，故R2=(0-1)2+(0-3)2+(0+2)2=14从而所求球面方程为（x-1）2+（y-3）2+（=+2）2=143.方程x2+2+22-2x+4y+22=0表示什么曲面？解将已知方程整理成(x-1)2+(y+2)2 +(2+1)2 =(/6)2.所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以/6为半径的球面，4.求与坐标原点0及点（2.3.4）的距离之比为1：2的点的全体所组成的曲面的方