6、《高等数学》（第七版）下册习题全解1图8-512.求点M（4，-35）到各坐标轴的距离解点M到x轴的距离d,=V（-3）2+52=V34,点M到轴的距离d,=V42+52=/41，点M到z轴的距离d，=V42+（-3）2=25=5.13.在y0z面上，求与三点A（3.1.2）.B（4、-2、-2）和C（0.5.1）等距离的点解所求点在yOz面上，不妨设为P（0，Y，2），点P与三点A.B，C等距离[PA|=V32+(y-1)2+(z-2),[PB/=V42+(y+2)2+(=+2)[PC|=/(x-5)?+(=-1)2由|PA=|PB|=|PC|知/32+(y-1)2+(2-2)2=/42+(y+2)2+(z+2)=/(y-5)2+(2-1)2即9+(y-1)2+(z-2)2=16+(y+2)2+(3+2)29+(y-1)2+(z-2)2=(y-5)2+(=-1)2解上述方程组，得y=1,z=-2.故所求点坐标为（0，1，-2)14.试证明以三点A（4,1,9），B（10，-1.6），C（2.4.3）为顶点的三角形是等腰直角三角形证由[AB|=（10-4)2+（-1-1)+(6-9)=7[AC/=V(2-4)2 +(4-1)?+(3-9)"=7.[BC/=/(2-10)2+(4+1)+(3-6)=98=7/2知|AB|=|AC|及|BC|？=|AB2+「AC】2故△ABC为等腰直角角形15.设已知两点M，（4.2.1）和M，（3.0.2）计算向量M，M的模、方向余弦和向角解向量M,M,=(3 -4.0-/2.2-1)=(-1.-/2.1)
第八章向量代数与空间解析几何7其模|MM，「=（-1)2+（-②)2+12=/4=2.其方向余弦分别为211cosαcosβ=cos y=292223T方向角分别为α=mB==316.设向量的方向余弦分别满足（1)cosα=0；（2)cosβ=1；（3）cosα=cosβ=0.问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？，故向量与x轴垂直，平行于y0z面。解（1）由cosα=0知α=2（2）由cosβ=1知β=0.故向量与轴同向，垂直于x0z面（3）由co%α=cosβ=0知α=β=，故向量垂直于×轴和y轴，即与z轴平行，垂直于xOy面17.设向量r的模是4，它与u轴的夹角是，求r在u轴上的投影。31解已知|r|=4,则Prj.r=|lcos0=4·cos号=4×-= 22318.一向量的终点在点B（2，-1，7），它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A的坐标解设A点坐标为（x,y,z），则AB=(2-x,-1-y,7-2),由题意知2-x=4,-1-y=-4.7-z=7,故x=-2，=3,2=0，因此A点坐标为（-2.3.0）19.设m=3i+5j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在轴上的分向量解=4m+3n-p=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k）)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k,a在×轴上的投影为13，在轴上的分向量为7j*混合积向量积习题8-2数量积1.设a=3i-j-2k.b=i+2j-k,求（1）a·b及axb：（2）（-2a）.3b及a×2b：（3）a，b的夹角的余弦解(1)a·b=(3,-1,-2)·(1,2,-1)=3×1+(-1)×2+(-2)×(-1)=3
8一、《高等数学》（第七版）下册习题全解ikj3-1-2=(5,1.7)axb=12(2)(-2a)-3b=-6(a.b)=-6×3=-18.ax2b=2(axb)=2(51,7)=(10,2,14)3a.b(3) cos (a.b):ab/32 +(-1)2 +(-2)3/12 +22 +(-1)233/14/62/212.设ab,c为单位向量，且满足a+b+c=0,求a·b+bc+e·a.解已知a=b=c=la+b+c=0,故（a+b+c）·（a+b+c）=0即|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2b·c+2c·a=0.因此3[a/2+|b|2+|c|2)=a.b+b.c+ca:223.已知M,（1，-1.2），M,（3.3.1）和M,（3,1,3）求与MM，.M,M同时垂直的单位向量，解M,M,=(3-1,3-(-1).1-2)=(2,4,-1)M,M,=(3-3.1-3,3-1)=(0,-2.2)由于MM,×M,M与MM，M,M同时垂直，故所求向量可取为±(MM,xM,M)2[M,M,×M,M,ikj由M,M,xM,M,=42-1=(6,-4,-4),02-2MM,×M,M/=/62+(-4)2+(-4)2=68=217±1知(6,-4.-4)=aV2/174.设质量为100kg的物体从点M（31，8）沿直线移动到点M（1.4.2）.计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为：轴负方向）解M,M,=(1-3.4-1.2-8)=（-2.3.-6)F=(0.0,-100×9.8)=(0.0,-980),W=F.M,M,=(0.0.-980):（-2.3,-6)=5880(J)@5.在杠杆上支点0的一侧与点0的距离为x的点P，处，有一与0P成角e，的力F，作用着；在0的另一侧与点0的距离为2的点P，处，有一与OP,成角6，的力F作用着（图8-6).问9,，62，，2.1F，1，1F，1符合怎样的条件才能使杠杆保持
9第八章向量代数与空间解析几何平衡？FF100xP20PI图8-6解如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为F|xsino,-F2|xsin2=0即[F,|x,sin9,=|F2|x2sin926.求向量a=（4，-3.4）在向量b=（2,2,1）上的投影解Pria=b_(4, -3.4).(2,2.1)_6=2-3Ibl22+22+127.设a=（3,5，-2）,b=（2,14），问入与μ有怎样的关系，能使得入a+μb与z轴垂直？解入a+μb=入（3,5,-2)+μ(2,1,4)=(3入+2μ,5入+μ，-2入+4μ)要^a+μb与z轴垂直，即要（入a+μub）1（001）即(^a+μb).(0,0,1)=0,亦即（3入+2μ，5+μ，2入+4μ）（00,1）=0故-2入+4u=0，因此当入=2u时能使入a+ub与z轴垂直8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角，证如图8-7,设AB是圆0的直径，C点在圆周上，要证ZACB=号只要证2AC·BC=0即可.由AC.BC=(AO+OC)·(BO+OC)=AO.BO+AO.OC+OC.BO+1OC12=-AO|2+A0.OC-A0.0C+1OC12=0.故ACIBC.LACB为直角，0BA图8-79.已知向量a=2i-3j+k，b=i-j+3k和c=i-2j.计算：
10一、《高等数学》（第七版）下册习题全解(l)(a-b)c-(a.c)b:(2)(a+b)x(b+c):(3)(axb).c解(1)a-b=(2.-3.1)-(1,-1.3)=8,a*c=(2.-3,1).(1.-2.0)=8(a·b)c-(a.c)b=8(1,-2,0)-8(1,-1,3)=(0,-8,-24)=-8j-24k(2)a+b=(2,-3,1)+(1,-1,3)=(3,-4.4),b +c=(1,-1,3)+(1,-2,0)=(2,-3,3),1kj3-4(a+b)×(b+c)=4=(0. -1,-1)=-j-k2-332-313-1=2.(3)(axb)c=10-2110.已知OA=i+3kOB=j+3k，求△0AB的面积解由向量积的儿何意义知1OAxOBISAOAR2ikjOAxOB=013=(-3.-3.1).03110A×0B/=V(-3)2+（-3)2+1=V19/19故SAOAR2图1l.已知a=（a.，a.，a,）.b=（b，b,b.）.c=（c.c,c.），试利用行列式的性质证明：(axb).c=(bxc).a=(cxa).b.b.ab.baa,byb.b.证因为axb）·c=.(bxc).a=CCc.C:a.a.acCc.C.(cxa)-b=(a,ab5b.公bb.a1CCbh.故而由行列式的性质知Cc:a,a,abP4c.c.aaaCr.a=(cxa).b(axb).c=(bxc)