定理15.1若级数 +0a+1b. 00 2 n=] 收敛，则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛 证对任何实数x,由于 a,cosnx+b sinnx a+b, 根据优级数判别法，就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性，先讨论三角函 数系（⑤）的特性.首先容易看出三角级数系（⑤）中所 前页 返回
前页 后页 返回 定理 15.1 若级数 0 1 | | (| | | |). 2 n n n a a b 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 | cos sin | | | | |, n n n n a nx b nx a b 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
有函数具有共同的周期2π. 其次，在三角函数系（⑤）中，任何两个不相同的函数 的乘积在【-π，上的积分等于零，即 cosd=∫sin nd=0, (6) [cos mxcos ndx=0(m≠n, sin mxsin nxdx =0 (mn), (7) cos mxsin nxdx=0. 而（⑤）中任何一个函数的平方在【元，上的积分都 前
前页 后页 返回 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 π π π π cos d sin d 0, (6) nx x nx x π π π π π π cos cos d 0 ( ), sin sin d 0 ( ), (7) cos sin d 0 . mx nx x m n mx nx x m n mx nx x 有函数具有共同的周期 2 π. 的乘积在 [ , ] 上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
不等于零，即 cos2mde=小nsin2lc=元， (8) ∫1Px=2元 若两个函数P与v在[血，b]上可积，且 (w)w(x)dx-0 则称p与在[a,b]上是正交的，或在[4，b上具有正 交性.由此三角函数系(4)在【-π，π]上具有正交性 或者说（⑤）是正交函数系. 前页
前页 后页 返回 不等于零, 即 π π 2 2 π π π 2 π cos d sin d π, (8) 1 d 2π nx x x x x 若两个函数 与 在 [ , ] a b 上可积, 且 ( ) ( )d 0 b a x x x 则称 与 在 [ , ] a b 上是正交的, 或在 [ , ] a b 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 [π,π] 上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系
二、以2π为周期的函数的傅里叶级数 现应用三角函数系（⑤）的正交性来讨论三角级数（④） 的和函数f与级数(4)的系数a,an,bn之间的关系. 定理15.2若在[-兀，π]上 -=2+2a,osac+么snu (9) 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式： a-If(x)cosnxdx,n=0.12. (10a )sindxn12. (10b) 前页 返
前页 后页 返回 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 0 , , n n a a b 之间的关系. 定理15.2 若在[-π,π]上 0 1 ( ) ( cos sin ) (9) 2 n n n a f x a nx b nx 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: π π 1 ( )cos d , 0,1,2, , (10 ) π n a f x nx x n a 二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数 π π 1 ( )sin d , 1,2, , (10 ) π n b f x nx x n b
证由定理条件，函数f在[-π，π]上连续且可积.对 9)式逐项积分得 ∫fxix =2dc+2a小cosnxdx+b.小.sin/vd,) 由关系式(6)知，上式右边括号内的积分都等于零. 所以 ∫fx)dr=g.2π=a,m, 2 前页 后页 返回
前页 后页 返回 证 由定理条件, 函数 f 在 [ , ] 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得 π π f x x ( )d π π π 0 π π π 1 d ( cos d sin d ). 2 n n n a x a nx x b nx x 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以 π 0 0 π ( )d 2π π, 2 a f x x a