第3章习题课二维连续型随机变量的概率密度(1) 定义对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,J)，如果存在非负的函数f(x,y）使对于任意x,y有F(x,y) =fmfm f(u,v) dudv则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,函数f(x,J)称为二维随机变量（X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度
. ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) d d ( , ) , ( , ) ( , ) , 机变量 和 的联合概率密度 称为二维随机变量 的概率密度 或称为随 则 称 是连续型的二维随机变 量 函 数 如果存在非负的函数 使对于任意 有 对于二维随机变量 的分布函数 X Y X Y X Y f x y F x y f u v u v f x y x y X Y F x y y x − − = 二维连续型随机变量的概率密度 (1) 定义
第3章习题课(2) 性质1° f(x,jy) ≥ 0.2° f f(x,y) dxd y = F(00,00) = 1.0"F(x,y) = f(x,y).3° 若f(x,J)在(x,y)连续,则有axdy4° 设G是xoy平面上的一个区域点(X,Y)落在G内的概率是P((X,Y)eG) = [[ f(x,y) dxd y.G
2 ( , ) d d ( , ) 1. 0 = = − − f x y x y F {( , ) } ( , ) d d . = G P X Y G f x y x y 1 ( , ) 0. 0 f x y (2) 性质 ( , ). ( , ) 3 ( , ) ( , ) , 2 0 f x y x y F x y f x y x y = 若 在 连 续 则 有 的概率是 4 0 设G是xoy平面上的一个区域,点(X,Y )落 在G内
第3章习题课(3) 说明几何上,z=f(x,J)表示空间的一个曲面·F" J" f(x,y)dxd y =1表示介于f(xy)和xOy平面之间的空间区域的全部体积等于1.P(X,Y) eG) = [f f(x,y) dxd yCP(X,Y)ε G)的值等于以G为底,以曲面z= f(x,J)为顶面的柱体体积
表示介于 f (x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全 部体积等于1. = G P{(X,Y ) G} f (x, y) d xd y ( , )d d = 1 − − f x y x y . {( , ) } , ( , ) 为顶面的柱体体积 P X Y G 的值等于以G为 底 以曲面z = f x y 几何上, z = f (x, y) 表示空间的一个曲面 . (3) 说明
第3章习题课(4)两个常用的分布设D是平面上的有界区域，其面积为S,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度(x,y)e D,f(x,y)=s[0, 其他.则称（X,Y）在D上服从均匀分布
= 0, . , ( , ) , 1 ( , ) 其 他 x y D f x y S (4) 两个常用的分布 设D是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随 机变量( X,Y )具有概率密度 则称( X,Y )在D上服从均匀分布
第3章习题课若二维随机变量（XY）具有概率密度1f(x,y) =2元0,02 /1- p(x-u) 2p(x-μr)(y-μz) (y-μz)o2(1-p2)0102(18<x<8,-8<y<8)其中μ1,μ2,01,2,p为常数,0, >0,2, >0,-1 <p<1,则称(X,Y)服从参数为μi,μ2,1,2,p的二维正态分布.记为(X,Y)~ N(μ,2,oi,o2,p),二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布
分 布 记 为 则 称 服从参数为 的二维正态 . ( , ) , , , , X Y μ1 μ2 σ1 σ2 ρ 2 1 2 2π 1 1 ( , ) σ σ ρ f x y − = , , , , , 0, 0, 1 1, 其中μ1 μ2 σ1 σ2 ρ 为常数 σ1 σ2 − ρ (− x , − y ) ( , ) ~ ( , , , , ). 2 2 2 X Y N μ1 μ2 σ1 σ ρ 若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度 ] ( ) 2 ( )( ) ( ) [ 2(1 ) 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 e σ y μ σ σ ρ x μ y μ σ x μ ρ − + − − − − − − 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布