广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.3 协方差及相关系数

第四章随机变量的数字特征第三节协方差及相关系数一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结概率论与数理统计（第4版）

一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 第三节 协方差及相关系数 三、小结

4.3协方差及相关系数一、协方差与相关系数的概念及性质1.问题的提出若随机变量X和Y相互独立，那么D(X + Y) = D(X) + D(Y)若随机变量X和Y不相互独立D(X + Y) = ?D(X +Y)= E(X +Y)? -[E(X +Y)}= D(X)+ D(Y)+ 2E{[X - E(X)IIY - E(Y)I协方差

1. 问题的提出 若随机变量X 和Y 相互独立, D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). 若随机变量X 和Y 不相互独立 D(X + Y ) = ? D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}. 一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差 那么 2 2 = E(X + Y ) − [E(X + Y )]

4.3协方差及相关系数2.定义量EIX-E(X)IY-E(Y)I称为随机变量X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)= E{[X - E(X)I[Y - E(Y)]I)Cov(X,Y)而Pxy =/D(X) : D(Y)称为随机变量X与Y的相关系数

2.定义 量 E{[X − E(X)][Y − E(Y)]}称为随机变量 Cov(X,Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}. X 与Y 的协方差.记为Cov(X,Y ), ρXY 即 而 = ( ) ( ) Cov( , ) D X D Y X Y  称为随机变量 X 与 Y 的相关系数

4.3协方差及相关系数3.说明(1) X 和 Y的相关系数又称为标准协方差,它是一个无量纲的量(2）若随机变量X和Y相互独立=→ Cov(X,Y)= E{[X - E(X)I[Y - E(Y)])= E[X - E(X)]E[Y - E(Y)]= 0.(3)若随机变量X和Y相互独立= D(X + Y) = D(X)+ D(Y)+2E[X - E(X)I[Y - E(Y)])= D(X)+ D(Y)+ 2Cov(X,Y)= D(X)+ D(Y)

 Cov(X,Y ) = E[X − E(X)]E[Y − E(Y )] = 0. (3) 若随机变量X 和Y 相互独立  D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). (2) 若随机变量 X 和Y 相互独立 = D(X) + D(Y ) + 2Cov(X,Y ) 3.说明 (1) X 和Y 的相关系数又称为标准协方差, + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} = D(X) + D(Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]} 个无量纲的量. 它是一

4.3协方差及相关系数4.协方差的计算公式(1) Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y);(2) D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)证明 (1)Cov(X,Y)= E{[X - E(X)][Y - E(Y)})= E[XY - YE(X) - XE(Y)+ E(X)E(Y))= E(XY) - 2E(X)E(Y) + E(X)E(Y)= E(XY)- E(X)E(Y)

4. 协方差的计算公式 (1) Cov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ); (2) D(X + Y ) = D(X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ). 证明 (1)Cov(X,Y ) = E[XY −YE(X) − XE(Y ) + E(X)E(Y )] = E(XY ) − E(X)E(Y ). = E(XY ) − 2E(X)E(Y ) + E(X)E(Y ) = E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}