1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分把答案填在题中横线上）(1)设函数y= ()由方程e*+cos(x)=0 确定,则类dx(2)函数u=In(x +y2+z2)在点M(1,2,-2)处的梯度gradu=A-元<x≤0(3)设f(x)则其以2元为周期的傅里叶级数在点X=元处收敛1+x2 0<x≤元于(4)微分方程y+ytanx=cosx的通解为y=[abab.abab azb ... ab.(5)设A=其中a,±0,b,±0,(i=l,2,,n).则矩阵A的秩..Labiab..abhr(A)=二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)x2-1 1(1)当x→>1时,函数ex-l的极限x-1(A)等于2(B)等于0(C)为00(D)不存在但不为80(2)级数Z(-1)"(1-cos=)(常数α>0)nn=(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线x=t,y=-,z=t的所有切线中,与平面x+2y+z=4平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(D)不存在(C)至少有3条(4)设f(x)=3x+xμ,则使(")(0)存在的最高阶数n为(A)0(B)1(C)2(D)316
16 1992 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)设函数 由方程 确定,则 =_. (2)函数 在点 处的梯度 =_. (3)设 ,则其以 为周期的傅里叶级数在点 处收敛 于_. (4)微分方程 的通解为 =_. (5)设 其中 则矩阵 的秩 =_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当 时,函数 的极限 (A)等于 2 (B)等于 0 (C)为 (D)不存在但不为 (2)级数 常数 (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与 有关 (3)在曲线 的所有切线中,与平面 平行的切线 (A)只有 1 条 (B)只有 2 条 (C)至少有 3 条 (D)不存在 (4)设 则使 存在的最高阶数 为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 y y x = ( ) e cos( ) 0 x y xy + + = dy dx 2 2 2 u x y z = + + ln( ) M (1,2, 2) − grad M u f x( ) = 2 1 1 x − + 0 0 x x − 2 x = y y x x + = tan cos y 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b = A 0, 0,( 1,2, , ). i i a b i n = A r( ) A x →1 2 1 1 1 e 1 x x x − − − 1 ( 1) (1 cos )( n n a n = − − a 0) a 2 3 x t y t z t = = − = , , x y z + + = 2 4 3 2 f x x x x ( ) 3 , = + ( ) (0) n f n
-0都是线性方程组AX=0的解,只要系数矩阵A为(5)要使引(2)-[2 0 -1](A)[-2 1 2](B)010一-1[-1 024 -2-2(D))(C)011011三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分e*-sinx-1(1)求lim-0 1-Vi-x2a?z(2)设z=f(esiny,x2+y),其中f具有二阶连续偏导数，求axay[1+x2 x≤0求f(x-2)dx(3)设 f(x)=[e-x>0四、(本题满分6分)求微分方程y"+2y'-3y=e-3的通解五、(本题满分8分)计算曲面积分[[(x3+az2)dydz+(y+ax*)dzdx+(+ay2)dxdy,其中≥为上半球面z=a--y的上侧六、（本题满分7分）设f"()<0,f(0)=0,证明对任何x>0,>0,有f(+x)<f()+f()七、（本题满分8分）在变力F=yzi+zxi+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=1上第一卦限的点M(5n,S),问当、n、取何值时,力F所做的功W最a?b+?大?并求出W的最大值八、（本题满分7分）设向量组aaz,线性相关，向量组azasa线性无关，问：(1)α,能否由a2,a,线性表出?证明你的结论17
17 (5)要使 都是线性方程组 的解,只要系数矩阵 为 (A) (B) (C) (D) 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 (2)设 其中 具有二阶连续偏导数,求 (3)设 ,求 四、(本题满分 6 分) 求微分方程 的通解. 五、(本题满分 8 分) 计算曲面积分 其中 为上半球 面 的上侧. 六、（本题满分 7 分） 设 证明对任何 有 七、（本题满分 8 分） 在变力 的作用下 , 质 点 由 原 点 沿 直 线 运 动 到 椭 球 面 上第一卦限的点 问当 、 、 取何值时,力 所做的功 最 大?并求出 的最大值. 八、（本题满分 7 分） 设向量组 线性相关,向量组 线性无关,问: (1) 能否由 线性表出?证明你的结论. 1 2 1 0 0 , 1 2 1 = = − ξ ξ AX 0 = A −2 1 2 2 0 1 0 1 1 − 1 0 2 0 1 1 − − 0 1 1 422 0 1 1 − − − 0 2 e sin 1 lim . 1 1 x x x x → − − − − 2 2 (e sin , ), x z f y x y = + f 2 . z x y f x( ) = 2 1 e x x − + 0 0 x x 3 1 f x dx ( 2) . − 3 2 3 e x y y y − + − = 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) ( ) , x az dydz y ax dzdx z ay dxdy + + + + + 2 2 2 z a x y = − − f x f ( ) 0, (0) 0, = 1 2 x x 0, 0, 1 2 1 2 f x x f x f x ( ) ( ) ( ). + + F yzi zxj xyk = + + 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = M ( , , ), F W W 1 2 3 α , , α α 234 α , , α α α1 2 3 α ,α
(22)a能否由a1,α2,a,线性表出?证明你的结论九、（本题满分7分）设3阶矩阵A的特征值为=1,=2.=3.对应的特征向量依次为(01(1)225, =,52=5=，又向量β=I.8(3)(9)(4)(1)(1)将β用5152,53线性表出(2)求A"β(n为自然数)十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分把答案填在题中横线上）(1)已知 P(A)= P(B)= P(C)=,P(AB)=0, P(AC)= P(BC)=则事件A、B、X6C全不发生的概率为(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E(X+e-2X)=十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N(u,α"),Y服从[-元,元]上的均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中A1e2dt)(x)=V2元J18
18 (2)(2) 能否由 线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分 7 分） 设 3 阶矩阵 的特征值为 对应的特征向量依次为 又向量 (1)将 用 线性表出. (2)求 为自然数). 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)已知 则事件 、 、 全不发生的概率为_. (2)设随机变量 服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 =_. 十一、（本题满分 6 分） 设随机变量 与 独立 服从正态分布 服从 上的均匀分布,试 求 的概率分布密度 ( 计算结果用标准正态分布函数 表 示 , 其 中 . α4 1 2 3 α , , α α A 1 2 3 = = = 1, 2, 3, 1 2 3 1 1 1 1 , 2 , 3 , 1 4 9 = = = ξ ξ ξ 1 2 . 3 = β β 1 2 3 ξ , , ξ ξ ( n A β n 1 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) 0, ( ) ( ) , 4 6 P A P B P C P AB P AC P BC = = = = = = A B C X 2 { e }X E X − + X Y , X 2 N Y ( , ), [ , ] − Z X Y = + 2 2 1 ( ) e ) 2 t x x dt − − =
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）(1)函数F(x)==)dt(x>0)的单调减少区间为Vt(2)由曲线[3x+2) =12 y轴旋转一周得到的旋转面在点(0.V5,V2) 处的指向外Lz=0侧的单位法向量为(3）设函数(x)=元x+x(-元<x<元）的傅里叶级数展开式为号+(a,cosmx+b,sin x),则其中系数b,的值为27=1(4)设数量场u=ln/x2+y2+2,则div(gradu)=(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n-1,则线性方程组AX=0的通解为二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)=[sin(t)dt,g(x)=x +xt, 则当x→0 时,f(x) 是g(x) 的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线(x2+y）=x2-J所围成的区域面积可用定积分表示为4cos20de4cos20de(A)2(B)4Jcos20do4(cos20)do(D)C)22Jx-y=6(3)设有直线：-5_+8可则与，的夹角为-212y+z=31.(A)(B)264(o%(0%19
19 1993 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)函数 的单调减少区间为_. (2)由曲线 绕 轴旋转一周得到的旋转面在点 处的指向外 侧的单位法向量为_. (3) 设函数 的 傅 里 叶 级 数 展 开 式 为 则其中系数 的值为_. (4)设数量场 则 =_. (5)设 阶矩阵 的各行元素之和均为零,且 的秩为 则线性方程组 的通 解为_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 则当 时 是 的 (A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小 (D)低价无穷小 (2)双纽线 所围成的区域面积可用定积分表示为 (A) (B) (C) (D) (3)设有直线 与 则 与 的夹角为 (A) (B) (C) (D) 1 1 ( ) (2 ) ( 0) x F x dt x t = − 2 2 3 2 12 0 x y z + = = y (0, 3, 2) 2 f x x x x ( ) ( ) = + − 0 1 ( cos sin ), 2 n n n a a nx b nx = + + 3 b 2 2 2 u x y z = + + ln , div(grad ) u n A A n −1, AX 0 = sin 2 3 4 0 ( ) sin( ) , ( ) , x f x t dt g x x x = = + x →0 , ( ) f x g x( ) 2 2 2 2 2 ( ) x y x y + = − 4 0 2 cos 2 d 4 0 4 cos 2 d 4 0 2 cos 2 d 4 2 0 1 (cos 2 ) 2 d 1 1 5 8 : 1 2 1 x y z l − − + = = − 2 l : 6 2 3 x y y z − = + = 1 l 2 l 6 4 3 2
(4)设曲线积分[,Lf()-e]sinydx-f(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(O)=0,则f(x)等于(A) e"-eter-e-x(B)22(D)1_ e'+e-re+e-r(C)22[123]21P为三阶非零矩阵且满足PO=0.则(5)已知Q=T369(A)t=6时P的秩必为1(B)t=6时P的秩必为2(C)t≠6时P的秩必为1(D)t±6时P的秩必为2三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）21(1)求lim(sin=+cos-)*xxxer(2)求dxVer-1(3)求微分方程xy+xy=y满足初始条件y==1的特解四、(本题满分6分)b2xzdydz+yzdzdx-2dxdy，其中是由曲面==x+y与计算Sz=2-x2-y所围立体的表面外侧五、(本题满分7分)求级数≥(-1"G-n+)的的和2"n=0六、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）(1)设在[0.+oo）上函数f(x)有连续导数.且f(x)≥k>0.f(0)<0.证明f(x)在(0,+)内有且仅有一个零点(2)设b>a>e,证明a>ba七、（本题满分8分）已知二次型f(x,2,)=2x+3x+3x+2axzx(a>0）通过正交变换化成标准形20
20 (4)设曲线积分 与路径无关,其中 具有一阶连 续导数,且 则 等于 (A) (B) (C) (D) (5)已知 为三阶非零矩阵,且满足 则 (A) 时 的秩必为 1 (B) 时 的秩必为 2 (C) 时 的秩必为 1 (D) 时 的秩必为 2 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 (2)求 (3)求微分方程 满足初始条件 的特解. 四、(本题满分 6 分) 计 算 其 中 是 由 曲 面 与 所围立体的表面外侧. 五、(本题满分 7 分) 求级数 的和. 六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) (1) 设在 上函数 有连续导数, 且 证明 在 内有且仅有一个零点. (2)设 证明 七、（本题满分 8 分） 已知二次型 通过正交变换化成标准形 [ ( ) e ]sin ( )cos x L f t ydx f x ydy − − f x( ) f (0) 0, = f x( ) e e 2 −x x − e e 2 x x − − e e 1 2 x x − + − e e 1 2 x x − + − 1 2 3 2 4 , 3 6 9 t = Q P PQ = 0, t = 6 P t = 6 P t 6 P t 6 P 2 1 lim(sin cos ) . x x→ x x + e . e 1 x x x dx − 2 2 x y xy y + = , 1 1 x y = = 2 2 , xzdydz yzdzdx z dxdy + − 2 2 z x y = + 2 2 z x y = − − 2 2 0 ( 1) ( 1) 2 n n n n n = − − + [0, ) + f x( ) f x k f ( ) 0, (0) 0, f x( ) (0, ) + bae , . b a a b 222 1 2 3 1 2 3 2 3 f x x x x x x ax x a ( , , ) 2 3 3 2 ( 0) = + + +