(A)不可导(B)可导,且f(0)±0(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知β,、β,是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解,a,、α,是对应其次线性方程组AX=0的基础解析,k、k,为任意常数,则方程组AX=b的通解(一般解)必是(A)ka, +k(a, +a,)+B-B(B)ka, +h(a, -a,)+B+B22(C)k,a, +h(B, +β,)+B二B(D)ka, +k(β -β,)+B+β22三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分） /n(1+ dx.(1)求(2-x)a(2)设z=f(2x-y,ysinx),其中f(u,v）具有连续的二阶偏导数,求axay(3)求微分方程y+4y+4y=e-2*的通解(一般解）四、(本题满分6分）求幂级数(2n+1)x"的收敛域,并求其和函数n=0五、（本题满分8分）求曲面积分1=[yzdzdx+2dxdy其中S是球面x?+y?+z2=4外侧在z≥0的部分C六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数f(x）在闭区间[a,bl上连续，在开区间（a,b）内可导，且f(a)=f(b).证明在(a,b)内至少存在一点5,使得f()>0七、（本题满分6分）设四阶矩阵1-10213A0001-1213B=C0>00102100010002且矩阵A满足关系式A(E-C-'B)'C=E其中E为四阶单位矩阵，C-表示C的逆矩阵，C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并11
11 (A)不可导 (B)可导,且 (C)取得极大值 (D)取得极小值 (5)已知 、 是非齐次线性方程组 的两个不同的解 、 是对应其次线性 方程组 的基础解析 、 为任意常数,则方程组 的通解(一般解)必是 (A) (B) (C) (D) 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 (2)设 其中 具有连续的二阶偏导数,求 (3)求微分方程 的通解(一般解). 四、(本题满分 6 分) 求幂级数 的收敛域,并求其和函数. 五、(本题满分 8 分) 求曲面积分 其中 是球面 外侧在 的部分. 六、（本题满分 7 分） 设不恒为常数的函数 在闭区 间 上连 续, 在 开 区间 内可导, 且 证明在 内至少存在一点 使得 七、（本题满分 6 分） 设四阶矩阵 且矩阵 满足关系式 其中 为四阶单位矩阵 表示 的逆矩阵 表示 的转置矩阵.将上述关系式化简并 f (0) 0 β1 β2 AX = b 1 ,α α2 AX 0 = 1 , k 2 k AX = b 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 k k − + + + β β α α α 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 k k + + − + β β α α α 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 k k − + + + β β α β β 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 k k + + − + β β α β β 1 2 0 ln(1 ) . (2 ) x dx x + − z f x y y x = − (2 , sin ), f u v ( , ) 2 . z x y 2 4 4 e x y y y − + + = 0 (2 1) n n n x = + 2 S I yzdzdx dxdy = + S 2 2 2 x y z + + = 4 z 0 f x( ) [ , ] a b ( , ) a b f a f b ( ) ( ). = ( , ) a b , f ( ) 0. 1 1 0 0 2 1 3 4 0 1 1 0 0 2 1 3 , 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 2 − − = = − B C A 1 ( ) − A E C B C E − = E 1 , − C C ,C C
求矩阵A八，（本题满分8分）求一个正交变换化二次型=x+4x+4x-4xz+4x-8x成标准型九、（本题满分8分）P(3.4)质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点P(1,2)B(3,4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点P(工y)O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于oH元.求变力F对质点P所作的功2十、填空题（本题共3小题，每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上）1ol(1)已知随机变量X的概率密度函数f(x)=-00<x<+0则X的概率分布函数2F(x)=(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P(AB)=(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson）分布,即2he-2PX = k)=,k=0,1,2,,则随机变量Z=3X-2的数学期望E(Z)=k!十一、（本题满分6分）设二维随机变量（X,Y)在区域D:0<x<1<x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差D(Z)12
12 求矩阵 八、（本题满分 8 分） 求一个正交变换化二次型 成标准型. 九、（本题满分 8 分） 质点 沿着以 为直径的半圆周,从点 运动到点 的过程中受变力 作用(见图). 的大小等于点 与原点 之间的距离,其方向垂直于线段 且与 轴正向的夹角小于 求变力 对质点 所作的功. 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量 的概率密度函数 则 的概率分布函数 =_. (2)设随机事件 、 及其和事件的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若 表示 的对立事件, 那么积事件 的概率 =_. (3) 已知离散型随机变量 服从参数为 2 的泊松 分 布 , 即 则随机变量 的数学期望 =_. 十一、（本题满分 6 分） 设二维随机变量 在区域 内服从均匀分布,求关于 的边缘 概率密度函数及随机变量 的方差 A. 222 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x = + + − + − 4 4 4 4 8 P AB A(1,2) B(3, 4) F F P O OP y . 2 F P X 1 ( ) e , 2 x f x x − = − + X F x( ) A B B B AB P AB ( ) X ( ) Poisson 2 2 e { } , 0,1,2, , ! k P X k k k − = = = Z X = − 3 2 E Z( ) ( , ) X Y D x y x :0 1, X Z X = + 2 1 D Z( )
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分把答案填在题中横线上）x=1+t?dy(1)设dx2y=cost(2)由方程xyz+++2=~所确定的函数≥=2(x,J)在点(1,0,-1)处的全微分dz=(3)已知两条直线的方程是：=1_-2_=-3..x+2-y-1-Z则过1，且平210-111行于1，的平面方程是(4)已知当x→0时,(1+ax)-1与cosx-1是等价无穷小,则常数a2[5200001，则A的逆阵A-(5)设4阶方阵A：001[0011二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）I+e-r?(1)曲线yl-e-r(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线f()dt+ln2,则f(x)等于(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)=(A)e"In2(B)e?* In2(D)e2*+In2(C)e'+ln2(3)已知级数）(-1)"-"a, = 2,a2m-1=5,则级数a等于n=n=ln=1(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D是平面xoy上以(1,1)、（-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,D,是D在第一象限的部分，则13
13 1991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)设 ,则 =_. (2)由方程 所确定的函数 在点 处的全微 分 =_. (3)已知两条直线的方程是 则过 且平 行于 的平面方程是_. (4)已知当 时 与 是等价无穷小,则常数 =_. (5)设 4 阶方阵 则 的逆阵 =_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)曲线 (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数 满足关系式 则 等于 (A) (B) (C) (D) (3)已知级数 则级数 等于 (A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设 是平面 上以 、 和 为顶点的三角形区域 是 在第一 象限的部分,则 2 1 cos x t y t = + = 2 2 d y dx 2 2 2 xyz x y z + + + = 2 z z x y = ( , ) (1,0, 1) − dz 1 2 1 2 3 2 1 : ; : . 1 0 1 2 1 1 x y z x y z l l − − − + − = = = = − 1 l 2 l x →0 1 2 3 ,(1 ) 1 + − ax cos 1 x − a 5 2 0 0 2 1 0 0 , 0 0 1 2 0 0 1 1 = − A A −1 A 2 2 1 e 1 e x x y − − + = − f x( ) 2 0 ( ) ( ) ln 2, 2 t f x f dt = + f x( ) e ln 2 x 2 e ln 2 x e ln 2 x + 2 e ln 2 x + 1 2 1 1 1 ( 1) 2, 5, n n n n n a a − − = = − = = 1 n n a = D xoy (1,1) ( 1,1) − ( 1, 1) − − 1 , D D
+cosxsiny)dxdy等于(A)2 // cos xsin ydxdyxydxdy(B)2|D(C)4 [ (xy + cos x sin y)dxdy(D)0D(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E,其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA =E三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）(1)求 lim(cos /反)(2)设n是曲面2x2+3y2+=2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数6x2+8y2在点P处沿方向n的方向导数2[=2=绕≥轴旋转一周而成的曲面与平面(3)[[(x2++2)dv,其中是由曲线x=0Qz=4所围城的立体四、(本题满分6分)过点O(0,O)和A(元,0)的曲线族y=asinx(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分[,(1+y)dx+(2x+y)dy的值最小五、（本题满分8分）81将函数f(x)=2+x(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数>1=in?的和，六、（本题满分7分）设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3[2f(x)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使f(c)=0.七、（本题满分8分）已知a, =(1,0,2,3),a, =(1,1,3,5),a, =(1,-1,a+2,1), a, =(1,2,4,a+8)及β=(1,1,b+3,5)14
14 等于 (A) (B) (C) (D)0 (5)设 阶方阵 、 、 满足关系式 其中 是 阶单位阵,则必有 (A) (B) (C) (D) 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 (2) 设 是曲面 在点 处的指向外侧 的法向 量 , 求函数 在点 处沿方向 的方向导数. (3) 其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面与平面 所围城的立体. 四、(本题满分 6 分) 过点 和 的曲线族 中,求一条曲线 使沿该曲线 从 到 的积分 的值最小. 五、(本题满分 8 分) 将函数 展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数 的和. 六、（本题满分 7 分） 设函数 在 上连续 内可导,且 证明在 内存在一 点 使 七、（本题满分 8 分） 已 知 及 ( cos sin ) D xy x y dxdy + 1 2 cos sin D x ydxdy 1 2 D xydxdy 1 4 ( cos sin ) D xy x y dxdy + n A B C ABC E= , E n ACB E= CBA E= BAC E= BCA E= 2 0 lim (cos ) . x x → + n 2 2 2 2 3 6 x y z + + = P(1,1,1) 2 2 6 8 x y u z + = P n 2 2 ( ) , x y z dv + + 2 2 0 y z x = = z z = 4 O(0,0) A( ,0) y a x a = sin ( 0) L, O A 3 (1 ) (2 ) L + + + y dx x y dy f x x x ( ) 2 ( 1 1) = + − 2 1 1 n n = f x( ) [0,1] ,(0,1) 1 2 3 3 ( ) (0), f x dx f = (0,1) c, f c ( ) 0. = 1 2 3 4 α = = = − + = + (1,0,2,3), (1,1,3,5), (1, 1, 2,1), (1,2,4, 8) α α a a α β = + (1,1, 3,5). b
(1)a、b为何值时，β不能表示成ai,αz,ag,a的线性组合？(2)a、b为何值时,β有a,az,αs,a4的唯一的线性表示式?写出该表示式八、（本题满分6分）设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵证明A+E的行列式大于1九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PO长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上）(1)若随机变量X服从均值为2、方差为α的正态分布,且P[2<X<4)=0.3,则P(X<0) =(2)随机地向半圆0<y</2ax-x(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概元的概率为率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与X轴的夹角小于4十一、（本题满分6分）设二维随机变量（X,Y）的密度函数为2e-(++2p x>0,y>0f(x,y)=［其它0求随机变量Z=X+2Y的分布函数15
15 (1) 、 为何值时 不能表示成 的线性组合? (2) 、 为何值时 有 的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分 6 分） 设 是 阶正定阵 是 阶单位阵,证明 的行列式大于 1. 九、（本题满分 8 分） 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 处的曲率等于此曲线在该点的法 线段 长度的倒数( 是法线与 轴的交点),且曲线在点 处的切线与 轴平行. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)若随机变量 服从均值为 2、方差为 的正态分布,且 则 =_. (2)随机地向半圆 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概 率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 轴的夹角小于 的概率为_. 十一、（本题满分 6 分） 设二维随机变量 的密度函数为 求随机变量 的分布函数. a b ,β 1 2 3 4 α , , , α α α a b ,β 1 2 3 4 α , , , α α α A n ,E n A E+ P x y ( , ) PQ Q x (1,1) x X 2 P X {2 4} 0.3, = P X{ 0} 2 0 2 ( − y ax x a x 4 ( , ) X Y f x y ( , ) = ( 2 ) 2e 0, 0 0 x y x y − + 其它 Z X Y = + 2