(1)求x与y(2)求一个满足P-AP=B的可逆阵P.九、（本题满分9分）设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f(x)>0,证明:在(a,b)内存在唯一的,使曲线y=f(x）与两直线y=f（),x=a所围平面图形面积S,是曲线y=f(x）与两直线y=f（）,x=b所围平面图形面积S的3倍十、填空题（本题共3小题，每小题2分，满分6分把答案填在题中横线上）(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19则事件A在一次试验中出现的概率是276(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件"两数之和小于“的概率为5(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,，已知1(x)= 2 du,g(2.5)=0.9938,e2元则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为十一、（本题满分6分）1设随机变量X的概率密度函数为fx(x)=,求随机变量Y=1-/X的概率密元(1- x2)度函数f(y)6
6 (1)求 与 (2)求一个满足 的可逆阵 九、（本题满分 9 分） 设函数 在区间 上连续,且在 内有 证明:在 内存在唯一 的 使曲线 与两直线 所围平面图形面积 是曲线 与两 直线 所围平面图形面积 的 3 倍. 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)设在三次独立试验中,事件 出现的概率相等,若已知 至少出现一次的概率等于 则事件 在一次试验中出现的概率是_. (2)若在区间 内任取两个数,则事件”两数之和小于 ”的概率为_. (3)设随机变量 服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知 则 落在区间 内的概率为_. 十一、（本题满分 6 分） 设随机变量 的概率密度函数为 求随机变量 的概率密 度函数 x y. −1 P AP B= P. f x( ) [ , ] a b ( , ) a b f x ( ) 0, ( , ) a b , y f x = ( ) y f x a = = ( ), 1 S y f x = ( ) y f x b = = ( ), 2 S A A 19 , 27 A (0,1) 6 5 X 2 2 1 ( ) e , (2.5) 0.9938, 2 u x x du − − = = X (9.95,10.05) X 2 1 ( ) , (1 ) X f x x = − 3 Y X = −1 ( ). Y f y
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分把答案填在题中横线上）f(3-h)- f(3)(1)已知f(3)=2,则lim2h→0(2)设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2[f(t)dt,则f(x)=(3)设平面曲线L为下半圆周=-/1-x,则曲线积分[,(x+y)ds=(4)向量场divu在点P(1,1,O)处的散度divu=[300][100]4000,则矩阵(A-21)-=T1(5)设矩阵A=[0 03][Lo0 1]二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1(1)当x>0时，曲线y=xsin-x(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线，又无铅直渐近线(2)已知曲面z=4-x2-y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0,则点的坐标是(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(-1, -1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)CyI +C +y3(B)Cyt +Cy2 -(G +c,)y3(C)C +C22 -(1-C -C2)y3(D)C +C2J2 +(1-G -C2)y3(4)设函数f(x)=x2,0≤x<1,而S(x)=Zb, sin nx,-00<x<+00, 其中n=lb, =2["f(x)sin nxdx,n=1,2,3,,则 S(-）等于27
7 1989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)已知 则 = _. (2)设 是连续函数,且 则 =_. (3)设平面曲线 为下半圆周 则曲线积分 =_. (4)向量场 在点 处的散度 =_. (5)设矩阵 则矩阵 =_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当 时,曲线 (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近 线 (2)已知曲面 上点 处的切平面平行于平面 则点的 坐标是 (A) (B) (C) (D) (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解 是 (A) (B) (C) (D) (4)设函数 而 其中 则 等于 f (3) 2, = 0 (3 ) (3) lim h 2 f h f → h − − f x( ) 1 0 f x x f t dt ( ) 2 ( ) , = + f x( ) L 2 y x = − −1 , 2 2 ( ) L x y ds + divu P(1,1,0) divu 3 0 0 1 0 0 1 4 0 , 0 1 0 , 0 0 3 0 0 1 = = A I 1 ( 2 )− A I − x 0 1 y x sin x = 2 2 z x y = − − 4 P 2 2 1 0, x y z + + − = (1, 1, 2) − ( 1,1, 2) − (1,1,2) ( 1, 1, 2) − − 1 1 2 2 3 c y c y y + + 1 1 2 2 1 2 3 c y c y c c y + − + ( ) 1 1 2 2 1 2 3 c y c y c c y + − − − (1 ) 1 1 2 2 1 2 3 c y c y c c y + + − − (1 ) 2 f x x x ( ) ,0 1, = 1 ( ) sin , , n n S x b n x x = = − + 1 0 2 ( )sin , 1,2,3, , n b f x n xdx n = = 1 ( ) 2 S −
11(A) -(B)-2411(CA(D2(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A=0,则A中(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、（本题共3小题，每小题5分，满分15分）(1)设z=f(2x-y)+g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有连续二阶偏导数，02求axoy(2)设曲线积分[xydx+yp(x)dy与路径无关,其中p(x)具有连续的导数,且p(0)=0,计算(1,1)ydx+yp(x)dy的值(0,0)(3)计算三重积分[[(x+)dv,其中是由曲面z=x+y与z=1-x-y所围Q成的区域四、(本题满分6分)1+x展为x的幂级数将函数f(x)=arctan1-2五、（本题满分7分）设f(x)=sinx-(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x)六、（本题满分7分）1-cos2xdx在区间(0,+oo）内有且仅有两个不同实根证明方程Inx=七、（本题满分6分）问为何值时，线性方程组(x+x,=4x++2x=+26x+x2+4x=2+3有解,并求出解的一般形式八：（本题满分8分）8
8 (A) (B) (C) (D) (5)设 是 阶矩阵,且 的行列式 则 中 (A)必有一列元素全为 0 (B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向量是其余列向量的线性 组合 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)设 其中函数 二阶可导 具有连续二阶偏导数, 求 (2)设曲线积分 与路径无关,其中 具有连续的导数,且 计算 的值. (3)计算三重积分 其中 是由曲面 与 所围 成的区域. 四、(本题满分 6 分) 将函数 展为 的幂级数. 五、(本题满分 7 分) 设 其中 为连续函数,求 六、（本题满分 7 分） 证明方程 在区间 内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分 6 分） 问 为何值时,线性方程组 有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分 8 分） 1 2 − 1 4 − 1 4 1 2 A n A A = 0, A z f x y g x xy = − + (2 ) ( , ), f t() , ( , ) g u v 2 . z x y 2 ( ) c xy dx y x dy + ( ) x (0) 0, = (1,1) 2 (0,0) xy dx y x dy + ( ) ( ) , x z dv + 2 2 z x y = + 2 2 z x y = − − 1 1 ( ) arctan 1 x f x x + = − x 0 ( ) sin ( ) ( ) , x f x x x t f t dt = − − f f x( ). 0 ln 1 cos 2 e x x xdx = − − (0, ) + 1 3 x x + = 1 2 3 4 2 2 x x x + + = + 1 2 3 6 4 2 3 x x x + + = +
假设入为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明(1)二为A-的特征值元A(2) 为A的伴随矩阵A*的特征值?九、（本题满分9分）设半径为R的球面Z的球心在定球面x?+y+=α(α>0)上,问当R为何值时,球面Z在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题（本题共3小题，每小题2分，满分6分把答案填在题中横线上）(1)已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8,则和事件AUB的概率P(AUB)=(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为(3)若随机变量5在（1,6)上服从均匀分布，则方程x2+≤x+1=0有实根的概率是十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为/2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数y
9 假设 为 阶可逆矩阵 的一个特征值,证明 (1) 为 的特征值. (2) 为 的伴随矩阵 的特征值. 九、（本题满分 9 分） 设半径为 的球面 的球心在定球面 上,问当 为何值时,球 面 在定球面内部的那部分的面积最大? 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机事件 的概率 随机事件 的概率 及 条件概率 则和事件 的概率 =_. (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命 中,则它是甲射中的概率为_. (3)若随机变量 在 上服从均匀分布, 则方程 有实根的 概率是 _. 十一、（本题满分 6 分） 设随机变量 与 独立,且 服从均值为 1、标准差(均方差)为 的正态分布,而 服 从标准正态分布.试求随机变量 的概率密度函数. n A 1 −1 A A A * A R 2 2 2 2 x y z a a + + = ( 0) R A P A( ) 0.5, = B P B( ) 0.6 = P B A ( | ) 0.8, = A B P A B ( ) (1,6) 2 x x + + = 1 0 X Y X 2 Y Z X Y = − + 2 3
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）x=-t+2我J=3t-4垂直的平面方程是(1)过点M(1,2-1)且与直线 z=t-1(2)设a为非零常数,则lim(+)[1 x≤1 (3)设函数f(x)则fLf(x)1=[0 [x|>1(4)积分dxe-dy的值等于(5)已知向量组a,=(1,2,3,4),a, =(2,3,4,5),a,=(3,4,5,6),a, =(4,5,6,7),则该向量组的秩是二、选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)是连续函数,且F(x)=f(1)dt,则F(x)等于(A)-e* f(e)- f(x)(B)-e f(e"")+ f(x)(C)e"" f(e-")- f(x)(D)e"* f(e"")+f(x)(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f(x)=[f(x)，则当n 为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(")(x)是(A)n![f(x)+(B) nLf(x)p+1(C)Lf(x)2"(D)n![f(x)2",sin(na)(3)设a为常数,则级数n?yn=(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与α的取值有关(）=2,则在点×=0处(4)已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且f(0)=0,lim-01-cOS.xf(x)10
10 1990 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)过点 且与直线 垂直的平面方程是_. (2)设 为非零常数,则 =_. (3)设函数 ,则 =_. (4)积分 的值等于_. (5)已知向量组 则该向量组的秩是_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 是连续函数,且 则 等于 (A) (B) (C) (D) (2)已知函数 具有任意阶导数,且 则当 为大于 2 的正整数时 的 阶导数 是 (A) (B) (C) (D) (3)设 为常数,则级数 (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)收敛性与 的取值有关 (4)已知 在 的某个邻域内连续,且 则在点 处 x t = − +2 M (1, 2 1) − y t = − 3 4 z t = −1 a lim( )x x x a → x a + − f x( ) = 1 0 1 1 x x f f x [ ( )] 2 2 2 0 e y x dx dy − 1 2 3 4 α = = = = (1,2,3,4), (2,3,4,5), (3,4,5,6), (4,5,6,7), α α α f x( ) e ( ) ( ) , x x F x f t dt − = F x ( ) e (e ) ( ) x x f f x − − − − e (e ) ( ) x x f f x − − − + e (e ) ( ) x x f f x − − − e (e ) ( ) x x f f x − − + f x( ) 2 f x f x ( ) [ ( )] , = n , ( ) f x n ( ) ( ) n f x 1 ![ ( )]n n f x + 1 [ ( )]n n f x + 2 [ ( )] n f x 2 ![ ( )] n n f x a 2 1 sin( ) 1 [ ] n na n n = − a f x( ) x = 0 0 ( ) (0) 0,lim 2, 1 cos x f x f → x = = − x = 0 f x( )