《工程数学（概率论与数理统计）》课程教学资源（PPT课件）第9章 随机变量的数字特征

一、数学期望的定义第4章随机变量的数字特征16例5设有离散型随机变量X，在下列三种情况下计算随机变量X的数学期望E（X）(I)X ~ B(1,p);(2)X ~ B(n,p); (3) X ~ P(a)解(1) 因为X~ B(1,p), 所以E(X)=Zx,P, =0·q+1·p=p

第4章 随机变量的数字特征 16 解 例5 设有离散型随机变量 X ，在下列三种情况下计算随机变量 X 的数学期望 E X( ) (1) ~ 1, ;(2) ~ , 3 ~ . X B p X B n p X P ( ) ( )；（ ） () （1）因为 ，所以 ( ) 0 1 i i i X B p ~ 1, ( ) E X x p q p p = =  +  =  一、数学期望的定义

一、数学期望的定义第4章随机变量的数字特征17解(2)因为 X ~ B(n,p),所以P(X =k)k=01,2,...,nK由期望的定义得n!n!E(X)=kk!(n-k)=(k-1)!(nk=0(n-1)!npn-1-(k-1)(k-1)!(n-k)令1= k-1 npZ(")p'q"--/ = np/=0

第4章 随机变量的数字特征 17 解 （2）因为 ，所以 ( ) , 0,1, 2, , . k n k n P X k p q k n k   − = = =     X B n p ~ , ( ) ( ) 0 1 ( ) ! ! ! - ( 1)!( )! n n k n k k n k k k n n E X k p q p q k n k k n k − − = = = = − −   ！ 由期望的定义得 ( ) 1 1 1 0 1 n n l n l l l l k np p q np − − − − = 令 = − =  1 1 ( 1) 1 ( 1)! ( 1)!( )! n k n k k n np p q k n k − − − − = − = − −  一、数学期望的定义

一、 数学期望的定义第4章随机变量的数字特征18解2k(3) 因为 X ~ P(α), 所以 P(X =k)k=012,..k!由期望的定义得2k~2Me-iE(X)一(k-1)!k!k=0Se=a令l=k-12eZe1!/l

第4章 随机变量的数字特征 18 解 （3）因为 ，所以 ( ) , 0,1, 2, . ! k P X k e k k  − X P ~ () = = = ( ) ( ) 1 0 1 ! 1 ! n n k k k k E X k e e k k      − − − = = = = −   由期望的定义得 1 1 = ! n l l l k e e e l        − − = 令 = − =  一、数学期望的定义

一、数学期望的定义第4章随机变量的数字特征19例6设有连续型随机变量X，在下列三种情况下计算随机变量X的数学期望E(X)(I)X ~U(a,b);(2)X ~ E(a); (3) X ~ N(u,α)解（1）因为X～U(a,b）所以X的密度函数为1a<x<b,f(x)=/b-a其他[0

第4章 随机变量的数字特征 19 解 例6 设有连续型随机变量 X ，在下列三种情况下计算随机变量 X 的数学期望 E X( ) ( ) ( ) ( ) 2 (1) ~ , ;(2) ~ 3 ~ , . X U a b X E X N    ；（ ） 1 ( ) 0 ， ， ， 其他. a x b f x b a     =  −   （1）因为 X U a b ~ , ( ) ， 所以 X 的密度函数为 一、数学期望的定义

一、数学期望的定义第4章随机变量的数字特征20解由期望的定义得a+bE(X)=[ * xf(x)dx =2

第4章 随机变量的数字特征 20 解 由期望的定义得 ( ) ( ) 2 b a x a b E X xf x dx dx b a +  −  + = = = −   一、数学期望的定义