第四节极限存在准则和两个重要极限如果谁不知道正方形的对角线和边是不可通约的量，那他就不值得人的称号柏拉图
第四节 极限存在准则 和两个重要极限 如果谁不知道正方形的对角线和边是 不可通约的量，那他就不值得人的称号。 ——柏拉图
极限存在准则定理4.1（夹逼准则）若(1) y,≤x,≤zn(2) lim y, = limz, = a,则 limx, = A.定理4.2（夹逼准则）若 (1) g(x)≤f(x)≤h(x),(2) lim g(x) = limh(x) = A,则 lim f(x)= A
极限存在准则 (1) , (2) lim lim , lim . n n n n n n y x z y z a x A = = = 定理4.1(夹逼准 则 则) 若 (1) ( ) ( ) ( ), (2) lim ( ) lim ( ) , lim ( ) . g x f x h x g x h x A f x A = = = 定理4.2(夹逼准则 若 ) 则
例1. 求 lim nn-→0十Y解nn+nn+n-Ynnlimlimn-8n-0+nn+nlimnn>00n+i
2 2 2 1 1 1 . lim . 1 2 1 n n → n n n n + + + + + + 例 求 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 , 1 n n n n n n n n n n + + + + + + + + 解 2 2 2 2 lim lim 1, n n 1 n n → → n n n = = + + 2 2 2 1 1 1 lim =1. n 1 2 n → n n n n + + + + + +
例2求极限lim cos x.x→0X()-,解 ： 0≤1-cosx=2sin2≤212lim=0,2x-→0lim(1- cosx)= 0,x-→0limcos x = 1.x-→0
例2 求极限 0 limcos . x x → 解 ∵ 2 2 2 0 1 cos 2sin 2 , 2 2 2 x x x x − = = 2 0 lim 0, x 2 x → = 0 limcos 1. x x → = ( ) 0 lim 1 cos 0, x x → − =
两个重要极限sinx1.limx-0x解如图，R由BD<BA得sinx<x,由SS扇OAB < SAOAc 得x< tanx,sinx0AD<1,cosx<x又limcos x=-1.x-→0sinxlim 1.x-→0x
两个重要极限 0 s 1. in lim 1 x x → x = A C x o B D 0 sin lim 1. x x → x = sin cos 1, x x x 解 如图, tan , 由 S S x x 扇OAB OAC 得 0 limcos =1, x x → 又 由 BD BA x x 得 sin