第十三章能量法第13-1能量法概念第13-2应变能与余能的计算第13-3互等定理第13-4卡氏定理第13-5利用卡氏定理解超静定问题
第十三章 能量法 第13-1 能量法概念 第13-2 应变能与余能的计算 第13-3 互等定理 第13-4 卡氏定理 第13-5 利用卡氏定理解超静定问题
S 13-1能量法概念一、外力功与应变能（变形能）弹性体在载荷作用下都要发生变形，载荷的作用点会相应的产生位移。载荷在相应的位移上作功，称其为外力功用符号W表示；弹性体将由于变形而储存能量，称其为应变能（变形能），用符号U表示，二能量守恒原理在弹性范围内，外力功W全部转变为变形能U(不考虑能量的损耗）。因此有W-U三、能量法利用功和能的概念来解决变形体的位移、变形和内力等计算的方法称为能量法
§13-1 能量法概念 一、外力功与应变能（变形能） 弹性体在载荷作用下都要发生变形，载荷的作用点会相 应的产生位移。载荷在相应的位移上作功，称其为外力功， 用符号W 表示；弹性体将由于变形而储存能量，称其为应变 能（变形能），用符号U 表示。 二、能量守恒原理 在弹性范围内，外力功 W 全部转变为变形能 U(不考虑 能量的损耗)。因此有 W=U 。 三、能量法 利用功和能的概念来解决变形体的位移、变形和内力 等计算的方法称为能量法
$13-2应变能与余能的计算一、外力功A1.常力作功（F为恒力）FW=FS2.变力作功（F从0逐渐增加到最终值）F（线弹性体）dwW=[dW={Fd8} ==F82-S0式中：F一广义力（力、力偶）8.ds, S一广义位移（线位移、角位移）广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义位移就是线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶，相应的广义位移就是角位移（在力偶作用处的角位移）
§13-2 应变能与余能的计算 一、外力功 1. 常力作功（F 为恒力） W = F W dW Fd F 2 1 1 0 = = 1 = 2. 变力作功（F 从0逐渐增加到最终值） （线弹性体） F o F F 1 1 1 d dW 广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义位移就是 线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶，相应的广义位移就 是角位移（在力偶作用处的角位移）。 式中： — 广义力（力、力偶） —广义位移（线位移、角位移） F
（线弹性体）二、应变能及比能1.轴向拉伸与压缩时应变能FnlHFN = F,△1 a.轴力为常量：NEAFRi应变能：WUFN一22EA92FRU1H比能：u=02EA?2V2Eu 为比能，即单位体积的变形能。b.轴力为变量：Fn(x)dxxdx段的伸长为：△(dx)=HxEA-F(x)·△(dx)dU :段的应变能：dx2Fr(x)dx(x2EA
二、应变能及比能（线弹性体） 1. 轴向拉伸与压缩时应变能 u 为比能，即单位体积的变形能。 EA F l U W F l N 2 2 1 2 应变能： = = = 2 1 2 2 2 2 2 = = = = EA E F V U u N 比能 ： a. 轴力为常量： EA F l F F l N N = , = F F FN b.轴力为变量： F (x) N x F (x) N F (x) N dx dx 段的伸长为： EA F x dx dx N ( ) ( ) = dx 段的应变能： EA F x dx dU F x dx N N 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 = =
F%(x)dxdu△(dx) =x22EA比能：dUFr(x)dx10(x)c(u(x2dv2EA.AdxF2(x)dxdU:整个杆内的应变能:U：2EA2.纯剪切时的变形能t?比能:u=222G21应变能：U=uyYL2dx
F (x) N x F (x) N F (x) N dx EA F x dx dU F x dx N N 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 = = 比能： ( ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 x x EA Adx F x dx dV dU u x N = = = 整个杆内的应变能： = = l l N EA F x dx U dU 2 ( ) 2 比能： 2 1 1 2 2 2 2 u G G = = = 应变能： 1 2 U uV V = = 2. 纯剪切时的变形能 dy dx x y