同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第21章 动量矩定理 §21-1 质点系的动量矩 §21-2 质点系动量矩定理

第二十一章动量矩定理821-1质点系的动量矩动量矩的定义设质点A的动量为 m，对固定点的矢径为rLo= M(my)=r×my质点动量mv对0点的矩NLo = Mx(mv)i + M,(mv)j + M.(mv)kmyB质点动量对z轴的矩LoL, = M.(m)) =±(m)dbmyh质点系的动量矩yaLo =ri×my, +r, ×my +...+i, ×myErxmy,x-Mo(my)

L M v r v O O      质点动量 mv 对O点的矩 = (m ) = m  质点动量对 z 轴的矩 L z = M z (mv) = (mv )d   设质点A的动量为 mv ，对固定点的矢径为r。   动量矩的定义  质点系的动量矩 O n n L r mv r mv r mv         = 1  1 + 2  2 + +  §21-1 质点系的动量矩 mv   a b d i i r v   = m = (m ) O i M v   O z A LO  mv  r  B x y L M ( v )i M ( v )j M ( v )k O x y z        = m + m + m 第二十一章 动量矩定理

质点系对固定点O的动量矩与对动点动量矩的关系福r = ro +rdmy,Q为任一动点drMdr, dro dr,tzV, = Vo +dtdtdtdtrLo = J(r, ×, )dm = J(ro + )×(VodmO2 +1O查中血-1o0-4)dm)dm+ /(r ×Vo)dm+J(r)XLOAE=J(ro×,)dm+J(r ×Vo)dm+J(r ×其中Jr, dm = mroc= ro × p+ m(roc ×Vo) + LgLo = Lo - ro × p - m(roc ×Vo)

 质点系对固定点O的动量矩与对动点动量矩的关系 x y z O Mi i dmv Q Q r  i r   i r  ' i Q i r r r    = + dt dr dt dr dt dri Q i    ' = + dt dr v v i i Q  '   = + )dm dt dr L (r v )dm (r r ) ( v ' i Q ' O i i Q i        =   =  +  + )dm dt dr )dm (r v )dm (r dt dr r ( v ' ' i Q i ' i ' i Q Q        =   + +   +   )dm dt dr (r v )dm (r v )dm (r ' ' i Q i ' Q i i       =   +   +   Q QC Q LQ = r  p + m r  v +       ( ) QC ' i r dm mr    = 其中 ( ) Q O Q QC Q L L r p m r v        = −  −  Q为任一动点

L = Lo -r。× p - m(roc ×Vo)讨论：roc =01、O点与质点系的质心C点重合：Lo = Lo + rc× p质点系对任一固定参考点0的动量矩，等于质点系相对于质心的动量矩与质心系的动量对0点之矩的量和y。 = 02、当Q为固定点：Lo = Lo -ro× p3、当Q为固定点与质心C重合：p=0L。 = Lc4、当 roc / V。 时 ： Toc ×V。 = 0Lo = Lo -ro ×p

( ) Q O Q QC Q L L r p m r v        = −  −  1、Q点与质点系的质心C点重合： 讨论： r QC = 0  LO LC r C p     =  +  质点系对任一固定参考点O的动量矩，等于质点系相对 于质心的动量矩与质心系的动量对O点之矩的矢量和 3、当Q为固定点与质心C重合： LO LC =    p = 0  2、当Q为固定点： LQ LO r Q p      = −  vQ = 0  4、当 r QC vQ 时 ：   // r QC  vQ = 0   LQ LO r Q p      = − 

刚体的动量矩1、平动刚体对任一固定点O的动量矩Lo -r ×my =mr.×v2、定轴转动刚体对转轴的动量矩：dmyL, =[ rdmv=Jr’ dmo = J_0M0(: v=rの)C0Lc. = Jc.OVOx3、平面运动刚体对任一固定点O的动量矩Lo = Lc +rc × pLoz = Lc. +[rc × p], = Jc-0 + M.(mvc)

２、定轴转动刚体对转轴的动量矩： L z = rdmv = r dm = J z  2  C LCz = JCz ３、平面运动刚体对任一固定点O的动量矩 L L r p O C C     = +  x y z O  i r  i dmv  Mi (v = r)  刚体的动量矩 １、平动刚体对任一固定点O的动量矩 L r m v mr v O i i i c      =  =  L L r p J M ( mv C ) O z Cz C z Cz z    = +  =  +

例1：已知半径为r的均质轮，在半径为R的固定凹面上只滚不滑，轮重W，均质杆OC重P，杆长l，在图示瞬时杆OC的角速度为，衣系统在该瞬时对0点的动量矩解：1 pp.0(Lo)oc = Jo0 3 g10RVW0(Lo)c=-Jcc+--vc(R-r)g1 W(R-r)o +W(R-r)o2x2grgW(R-r)(2R-3r)028WLo=(Lo)oc +(Lo)c= PPo+(R -r)(2R -3r)2g3g

x y R  r  C C v  O 例1： 已知半径为r的均质轮，在半径为R的固定凹面上只 滚不滑，轮重W，均质杆OC重P，杆长l，在图示瞬时杆OC 的角速度为 ，求系统在该瞬时对  O点的动量矩 =  =  2 3 1 ( ) l g p L J O OC O 解： ( ) v (R r) g W L J O C = − C  C + C −  2  2 ( ) ( ) 2 1 R r g W r R r r g W + − − = − ( )(2 3 ) 2 R r R r g W = − −  ( )(2 3 ) 3 2 ( ) ( ) 2 R r R r g W l g p LO = LO OC + LO C = + − −