同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第21章 动量矩定理 §21-3 刚体定轴转动微分方程 §21-4 刚体平面运动的微分方程

S21-3刚体定轴转动微分方程ddL-EML, = J_0(J0) = ZMe27dtdtFde或J.α =M°EMdi2Fi刚体定轴转动微分方程m解决两类问题：ViF2（1）已知刚体的转动规律，求作用在刚体上的主动力矩；（2）已知作用在刚体上的主动力矩，求刚体的转动规律

§21-3 刚体定轴转动微分方程 F2 F1 ri vi mi  Fi z e z M zi J dt d ( ) =  e z M zi J  =  （1）已知刚体的转动规律，求作用在刚 体上的主动力矩； （2）已知作用在刚体上的主动力矩，求刚体的转动规律。 解决两类问题： Lz = Jz  e zi z M dt dL =  或 z =  Mzi t J 2 2 d d  刚体定轴转动微分方程

例4：汽车传动装置如图示，传动力偶为M,摩擦力偶为常数M，已知电机的角速度为のo，传动装置对转轴的转动惯量为J求：传动系统的角速度。解：查汽车设计手册：M= M.(1- )0odo= M.(1- ~ )- M,dt0MM.令：α=M。-M ,b=0dotdidodtd=J6]a-bo=a-boJdta-bob0--1-)It →8,<<1O1M。-Mal最大转速：00.6Mo

例4: 汽车传动装置如图示, 传动力偶为M,摩擦力偶为常数Mf, 已知电机的角速度为0,传动装置对转轴的转动惯量为J， 求:传动系统的角速度。 查汽车设计手册： (1 ) 0 0   解 M = M − : M f ) ω ω M ( dt dω J = − − 0 0 1 令: 0 0 0 ,  M a M M b = − f = (1 ) t J b e b a −  = − t →, 0 0 0   M M M b a f c − 最大转速: = = a bω dt dω J = − J dt a bω dω = − 1 − t J b e M   = − t J dt a bω dω 0 0 

例5：均质圆柱半径为r，质量为m，置该圆柱于墙角，初时角速度の，由于摩擦阻力，使转动减速，摩擦因数fFNAC求：使圆柱停止转动所需的时间。0FBmg解：应用刚体定轴转动的微分方程FNBJeα-EMadomr.2=-Fr-Fgr(1)2dtmx. =EFma。=EF考虑质心运动定理mj。=EF(2)[F, = FnA-f, (4)[O = FNA - FBX(5)F= FNBf、0= FNB +F^-mg (3)

例5：均质圆柱半径为r，质量为m，置该 圆柱于墙角，初时角速度0，由于摩擦阻 力，使转动减速，摩擦因数fs 求：使圆柱停止转动所需的时间。 解： FB FNB FA FNA 应用刚体定轴转动的微分方程 C =MCi J  (1) 2 1 2 F r F r dt d m r = − A − B  考虑质心运动定理    =  =  =  c y c x c my F mx F ma F        = + − = − 0 (3) 0 (2) F F mg F F NB A NA B    =  =  (5) (4) B NB s A NA s F F f F F f C

未知量O, FA, Fb, Fna, FnBmg f?mgf?解得 F-代入（1）式Fb=1+f.1+f?do2gf,(1 + f.)得dtr(1+ f?)2gf.(1+f' dt"' do1积分r(1+ f2) Jo0o- (1+ f?)ro2gf,(1 + f.)

解得 2 2 2 2 1 , 1 s s B s s A f mg f F f mgf F + = + = 代入（1）式 (1 ) 2 (1 ) d d 2 s s s r f gf f t + + = − 得  dt r f gf f d t s s s   + + = − 0 2 0 (1 ) 2 (1 ) 0  积分  未知量 FA FB FNA FNB , , , , 2 (1 ) (1 ) 0 2 s s s gf f f r t + + = 

例6：齿轮传动装置，开始时角速度分别为のo1，o2，重分别为P，P2，求耦合后的の,值。解：dPdR左轮：J-FRR2Ridt2gP2dodo2R2M= FR2J2右轮：001dtdt0022g方程右端化简相等：RRFP2R2daor01r02Rda = -RFNRyJoo1 2gJ002 2gFNMAR01RP02R.P1(0. -001)(0, - 002)F二2g2gR,P,001 + R, P,002运动学关系： R,O, = R,0,0=(P +P,)R

例6：齿轮传动装置，开始时角速度分别为01，02，重 分别为P1，P2，求耦合后的1值。 解: R dω g P R dω g P 2 2 1 1 2 02 1 01 2 2   = −     2 2 2 2 2 2 FR dt d R g P dt d J = =   R1 1 = R2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 02 2 2 1 01 1 1  − = −  − g R P g R P 1 2 1 1 1 01 2 2 02 1 P P )R R P R P + + = （    左轮: 右轮: 运动学关系: 方程右端化简相等: 1 R1 2 R2 02 01 R1 R2 FN F F FN 1 2 1 1 1 2 FR dt dω R g P dt dω J = = −