3.圆轴扭转时的变形能M (M, =m,Pma.扭矩为常量-GIp1M?应变能：FSmd222GI1Bb.扭矩为变量：aM(x)dx应变能：2GIp4.杆件受弯曲时的变形能moMIa.纯弯曲时：(M = mo,0 :EIM?11应变能：FSm222EI6
3. 圆轴扭转时的变形能 a. 扭矩为常量 ( , ) n n P M l M m GI = = b. 扭矩为变量： L A q B 2 ( ) 2 n l P M x dx U GI 应变能： = 4. 杆件受弯曲时的变形能 应变能： p n G I M l U F m 2 2 1 2 1 2 = = = 应变能： EI M l U F m 2 2 1 2 1 2 = = 0 = a. 纯弯曲时： 0 ( , ) Ml M m EI = =
b.横力弯曲时（剪力F的影响忽略）FqM(x)dx应变能：2EI一般梁中各段弯矩M(x)不同。则上面积分应分段进行，然后求出其总和。5.组合变形时的应变能杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下，杆件内同时有轴力Fn(x)，扭矩M,(x)，弯矩M(x)和剪力Fs(x)存在。在忽略了剪力Fs(x)的影响后，整个杆件的应变能可表示为：x)dxMMDdxd2EI2EA2GI1注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能
一般梁中各段弯矩M(x)不同。则上 面积分应分段进行，然后求出其总和。 2 ( ) 2 l M x dx U EI 应变能： = 5. 组合变形时的应变能 杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下，杆 件内同时有轴力FN(x)，扭矩Mn (x)，弯矩M(x)和剪力FS (x)存在。在忽略 了剪力FS (x)的影响后，整个杆件的应变能可表示为： 注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。 = + + l p l n l N EI M x dx G I M x dx EA F x dx U 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 b. 横力弯曲时（剪力FS 的影响忽略） q F
例试分别计算图示各梁的变形能P解：求各梁的变形能BEI(-Px)"dxp2j3M'(x)dxU.02EI2EI6EI1M,’dxMilM(x)dxUBMa2EI2EI2EIEI(-Px + M.)dx(x)dx12EI2EIPMo-2PxM, + M)dxMa2EIBEIp2/3PM,1?M;l16EI2EI2EI从中可看出U.+U. +U
解：求各梁的变形能 从中可看出 U U U c a b + 2 2 2 3 0 0 ( ) ( ) 2 2 6 l l a M x dx Px dx P l U EI EI EI − = = = 2 2 2 0 0 0 0 ( ) 2 2 2 l l b M x dx M dx M l U EI EI EI = = = 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 3 2 2 0 0 ( ) ( ) 2 2 1 ( 2 ) 2 6 2 2 l l c l M x dx Px M dx U EI EI P x PxM M dx EI P l PM l M l EI EI EI − + = = = − + = − + a b c 例 试分别计算图示各梁的变形能
F余能三、余功、非线性弹性体1、非线性弹性体W*dFl外力功和应变能SWFFFdsW=-U=S00olds余功和余能SFW*=U*=(&dF0F2、线性弹性体线性弹性体W=W*W*WU=U*F8-2S0
三、余功、余能 0 F W * W F1 F dF d 1 非线性弹性体 1、非线性弹性体 外力功和应变能 = = 1 0 W U Fd 余功和余能 = = 1 0 * * F W U dF 0 F W * W 2、线性弹性体 线性弹性体 1 1 * * 2 1 U U F W W = = =
四、利用功能原理计算位移利用 U=WFS可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相对应的位移。例直角水平圆截面折杆ABC受力如图示。已知抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIp。试求C处的垂直位移。解1、内力分析M(x) =-PxBC杆:LCM(x) =-PxAB杆:BXM, = Pl
四、利用功能原理计算位移 利用 可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于 单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相 对应的位移。 U W F 2 1 = = 解 1、内力分析 例 直角水平圆截面折杆ABC 受力如图示。已知抗弯刚度为EI，抗扭 刚度为GIp。试求C 处的垂直位移。 BC杆： M x Px ( ) = − AB杆： ( ) n M x Px M Pl = − = x x