《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征（3/4）

第四章随机变量的数字特征84协方差二、十协方差的性质COV(X, Y) =E(X-EX)(Y-EY)1) Cov(X,Y) = Cov(Y, X)2) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y);3) Cov(aX+bY , cZ) = acCov(X, Z)+bcCov(Y, Z):4)D(aX + bY) = a'DX + b'DY + 2abCov(X,Y)nZa,DX,+2D(Za;X,) =Ea,a,Cov(X,X,)i=-1i-11≤i<j≤n5)X，Y不相关GCov(X,Y) = 0D(aX + bY) = a DX +b'DY0EXY - EXEY

二、协方差的性质 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 1) Cov( X,Y ) = Cov( Y, X ) 2) Cov(aX，bY) 3) Cov(aX+bY , cZ) 5) X，Y不相关 ( ) . 2 2 EXY  EXEY D a X  b Y  a D X  b D Y  Cov ( X ,Y )  0      ( ) 1 n i D ai Xi        i j n i j i j n i ai DXi a a Cov X X 1 1 2 2 ( , ) 2 ( , ) 2 2 4)D(a X  b Y )  a D X  b D Y  abCov X Y COV( X, Y ) = E( X – EX )( Y – EY ) = acCov(X , Z)+bcCov(Y, Z); = abCov(X，Y)；

84协方差第四章随机变量的数特征三、相关系数的性质px/≤ 1.1)2)[Pxr|=1台存在常数a,b使P[Y=a+bX}=1.证明留给大家思考e=E[Y -(a +bX)]= EY? + b'EX2 + a2 -2aEY -2bEXY +2abEX求a，b使e达到最小Qe=2a+2bEX-2EY=0 = a = EY -bEXda令de= 2bEX2 - 2EXY + 2aEX = 0abD

三、相关系数的性质 证明 留给大家思考 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 1)  1.  XY 2)  1  a,b P{Y  a  bX}  1.  XY 存在常数 使 2 e  E[Y  (a  bX)] EY b EX a 2aEY 2bEXY 2abEX 2 2 2 2                        2 2 2 0 2 2 2 0 2 bEX EXY aEX b e a bEX EY a e 求a，b 使 e 达到最小. 令  a  E Y  bEX

第四章随机变量的数字特征S4协方差2bEX2 - 2EXY +2aEX = 0将a=EY一bEX，代入第二个方程得bEX? - EXY +(EY -bEX)EX = 0EXY-EXEYCov(X,Y)故b=DXEX?-(EX)得Cov(X,Y)b。 =DXCov(X,Y)a, = EY-b,EX = EY-EXDX

第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 将 a  EY  bEX , 代入第二个方程得 2 2 EX (EX) EXY EXEY b   故  ( ) 0, 2 bEX  EXY  EY  bEX EX  , ( , ) DX Cov X Y  得 2 2 2 0 2 bEX  EXY  aEX  . ( , ) ; ( , ) 0 0 0 DX Cov X Y a EY b EX EY EX DX Cov X Y b      