《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第三章 复变函数的积分 第一讲 复积分概念、Cauchy积分定理

例1计算zdz的值yzo =1+ic1)C = CiCC32)C = C2 +C30解:1)C :z=(1+i)t 0≤t≤1C2xJedz = f'(t-it)(1+ i)dt = J[2tdt = 1102)C, :z=t 0≤t≤1C, : z=1+it 0≤t≤1[ dz = (zdz+ (zdzJC3=-I'tdt+ f'(1-it)idt=→+(+i)=1+i2

o x y z = 1 + i 0 C1C2 C3 2 3 1 21 1C C C C C zdz C = + =  ))例 计算 的值 解：1)C1 : z = (1+ i)t 0  t  1 ( )(1 ) 2 1 10 10 = − + = =    zdz t i t i dt tdt C 2)C2 :z = t 0  t  1 C3 :z = 1+ i t 0  t  1    = + C C2 C3 zdz zdz zdz = tdt + − i t idt = + + i = + i   ) 1 21( 21 (1 ) 10 10

dz计算例2这里C表示以z.为中心1CZZ-Zo = rei0r为半径的正向圆周,n为整数.J716解: C: z= Z + reic0≤0≤2元ri0dzire2元deJc (z-z0)",n.ingCe0x2元d0=2元n=11de:n-l.i(n-1)6e[cos(n-1)0-isin( n-1)0]d0 = 0n ± 1注1：这个积分结果与半径r及z无关注2：这个积分结果与C也无关

, . , ( ) 2 0 0 为半径的正向圆周 为整数 例 计算 这里 表示以 为中心 r n C z z z dz C n −    : 0 2 = 0 +   i 解 ： C z z re  − − − =  = = = =    − − − [cos( 1) sin( 1) ] 0 1 2 1 20 1 20 20 1 ( 1) n i n d n ri i d i n d r ei n n i n           C − n z z dz ( ) 0  =     20 d r e iren ini . . 注 ： 积分 与 也无关 注 ： 积分 这 个 结 果 C 这 个 结果与半径 及 无 关 21 0 r z o x y  z 0 z rC i z − z = re 0 0 z 0 z0

例3计算「.zdz其中c为从原点到点3+4i的直线段解：此直线方程可写作x=3t, y= 4t,0<≤t ≤1或z =3t +i4t,0<≤t≤1由积分公式得：J,zdz = f(3 + 4i) tdt =(3+ 4i) T"tdt = (3 + 4i)容易验证：任意连接原点+4的曲线C，有[zdz=(3+4i)

解：此直线方程可写作 例3 计算 C C zdz  其中 为从原点到点 3 4 + i 的直线段. x t y t t = =   3 , 4 , 0 1 或 z t i t t = +   3 4 , 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 1 3 4 3 4 3 4 C 2 zdz i tdt i tdt i = + = + = +    由积分公式得： 容易验证: 2 3 4 2 1 3 4 zdz ( i) i C C = + +  任意连接原点到 的曲线 ， 有

三、复变函数积分的性质设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有(1)]af(z)dz=αJ(z)dz,其中α是一个复常数;(2),Lf(z)± g(z)]dz= J. f(z)dz± J,g(z)dz;(3) Jcf(z)dz = Jc f(z)dz+ Jc. f(z)dz +.+ Jcf(z)dz其中曲线C是由光滑的曲线C,C,…,C,连接而成；(4) Jef(2)dz=-J. f(2)dz

三、复变函数积分的性质 设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有 （1） （2）   ( )d =  ( )d ,其中是一个复常数； C C f z z f z z [ ( ) ( )] ( ) ( ) ;     =  C C C f z g z dz f z dz g z dz （3）     = + + + C C C Cn f (z)dz f (z)dz f (z)dz . f (z)dz 1 2 其中曲线C是由光滑的曲线 连接而成； （4） C C Cn , ,., 1 2 ( )d ( )d ,   = − − C C f z z f z z

如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在C上（z）≤M而L是曲线C的长度，其中M及都是有限的正数，那么有1Jf(z)dz≤ J1F(z)ld/≤ ML:(证明：k=1k=lk=l其中△s,是小弧段zk-1z的长，z=x+Ay≤△s

| ( )d | ( ) C C f z z f z dz ML     证明： f z M z M s ML n k k n k k n k  k  k        = = = | ( ) | | | | | 1 1 1  k k k k k k k s z z z = x + y  s − 2 2 其中 是小弧段 1 的长， （5）如果在C上， ，而L是曲线C的长度， 其中M及L都是有限的正数，那么有， f (z)  M 如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点 作为取积分的起点, 而且积分当沿C取积分的方向 改变时，所得积分相应变号