y=-sin- 例如,当x→Q时,y=sin 式x 是一个无界变量,但不是无穷大 (1)取xk= (k=0,1,2,3,…) 2kπ+ (x)=20+2,当充分大时,(x)>M.无界, (2)取xk= ('=1,2,3,) 2k'T 当k充分大时,x<8, 但(x)=kmin2k元=0<M.不是无穷大
江西理工大学理学院 x x y 1 sin 1 = , . 1 sin 1 , 0 , 是一个无界变量 但不是无穷大 例如 当 时 x x x → y = ( 0,1,2,3, ) 2 2 1 (1) = L π π + = k k x 取 k , 2 ( ) 2 π y xk = kπ + k , y(x ) M. 当 充分大时 k > ( 1,2,3, ) 2 1 (2) ′ = L ′ ′ = k k xk π 取 ′ , < δ , 当k 充分大时 xk′ 但 y(xk′) = 2k′πsin2k′π = 0 < M. 不是无穷大． 无界
江画工太猩院 例证明lim x-1 y 证M>0.要使 >M y 7.5-5-2512.557.510 只要x-1k<,,取8 M M 当0<x-1<8=时,就有 M.. lim M xIX 定义:如果lim∫(x)=∞,则直线x=x是函数y=f(x) 的图形的铅直渐近线
江西理工大学理学院 . 1 1 lim 1 = ∞ x→ x − 例 证明 证 ∀ M > 0. , 1 1 M x > − 要使 , 1 1 M 只要 x − < , 1M 取 δ = , 1 当0 1 时M < x − < δ = . 1 1 M x > − 就有 . 1 1 lim1 = ∞ − ∴ x→ x . : lim ( ) , ( ) 0 0 的图形的铅直渐近线 定义 如果 f x 则直线x x 是函数y f x x x = ∞ = = → 1 1 − = x y
江画工太猩院 三、无穷小与无穷大的关系 定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 证设lim∫(x)=0 ∴V>0,36>0,使得当0<x-x0<8时 恒有f(x)> <8 8 当x→x时,产、为无穷小 ∫(x)
江西理工大学理学院 三、无穷小与无穷大的关系 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 lim ( ) . 0 = ∞ → f x x x 设 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 0 ε > ∴ ∀ ε > ∃ δ > < − < δ f x x x 恒有 使得当 时 . ( ) 1 < ε f x 即 . ( ) 1 , 当 0 时 为无穷小 f x ∴ x → x