江画工太猩院 当X>N时恒有<2当x>N时恒有2 取N=max{N,N2,当x>M时,恒有 a土β≤+β<+=, ∴0土β→0(x→) 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如,n→o时,是无穷小, 但n个之和为1不是无穷小
江西理工大学理学院 ; 2 1 ε 当 x > N 时恒有 α < ; 2 2 ε 当 x > N 时恒有 β < max{ , }, 取 N = N1 N2 当 x > N时,恒有 α ± β ≤ α + β 2 2ε + ε < = ε, ∴α ± β → 0 (x → ∞) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → ∞ , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n
江画工太猩院 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 0 证设函数在U(x1,8内有界, 则M>0,81>0,使得当0<x-x<6时 恒有n≤M 又设a是当x→x时的无穷小, ∴V>0,382>0,使得当0<x-x0<82时 恒有a<
江西理工大学理学院 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数 在 ( 0 , 1 )内有界， 0 u U x δ . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x ≤ ∃ > δ > < − < δ 恒有 则 使得当 时 , 又设α是当x → x0时的无穷小 . 0, 0, 0 2 0 2 M x x ε α < ∴∀ε > ∃δ > < − < δ 恒有 使得当 时
江画工太猩院 取δ=mim{61,82},则当0<x=xn<6时,恒有 8 l·C=l4·<M ∴当x→x时,为无穷小 推论1在同一过程中有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 例如当x时,xsm1, 2 arct1 都是无穷小
江西理工大学理学院 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取 δ = δ δ 则当 0 < x − x0 < δ时,恒有 u ⋅ α = u ⋅ α M M ε < ⋅ = ε, , . ∴当x → x0时 u ⋅ α为无穷小 x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小
江画工太猩院 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 定义2设函数f(x)在x某一去心邻域内有定义(或x 大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数 M(不论它多么大),总存在正数δ(或正数X),使得对于 适合不等式0<x-x<8或x>X)的一切x,对应的 函数值f(x)总满足不等式f(x)>M, 则称函数f(x)当x→x(或x→>∞)时为无穷大记作 im∫(x)=0(或im∫(x)=0)
江西理工大学理学院 二、无穷大 定义 2 设函数 f (x)在x0某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数 M (不论它多么大),总存在正数δ(或正数X ),使得对于 适合不等式0 < x − x0 < δ(或 x > X )的一切x,对应的 函数值 f (x)总满足不等式 f (x) > M , 则称函数 f (x)当x → x0 (或x → ∞)时为无穷大,记作 lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = ∞ = ∞ → →∞ f x f x x x x 或 绝对值无限增大的变量称为无穷大
江画工太猩院 特殊情形:正无穷大,负无穷大 im∫(x)=+(或lim∫(x)=-∞) x→x x→x0 (x→∞) (x→∞) 注意(1)无穷大是变量不能与很大的数混淆; (2)切勿将lim∫(x)=∞认为极限存在, →>x (3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大
江西理工大学理学院 特殊情形：正无穷大，负无穷大． lim ( ) ( lim ( ) ) ( ) ( ) 0 0 = +∞ = −∞ →∞ → →∞ → f x f x x x x x x x 或 注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 2 lim ( ) . 0 （ ）切勿将 = ∞认为极限存在 → f x x x