1第八章傅里叶变换.188-1.傅里叶积分公式我们按照上面的分析方式（即令T→+cx-），由周期函数的傅里叶级数来推导非周期函数的傅里叶积分公式，这里只是形式推导，并不是严格的证明.有关严格证明可参考数学分析方面的相关教材将非周期函数f(t)看成是由周期函数（t)当T→×时转化米的，由（8.2）式与（8.3）式有f(t)= lim f-(t)fr(r)c mad)limFCL将间篇 a记为 Aw,节点 n。 记为 α,并由 T=2=,得wuAa1limf(t) =fr(t)ewdr.elaAu-2元／e这是一个和式的极限，按照积分定义，在一定条件下，上式可写为F() = J[f(r)e-mdt Jerda.(8.4)由此得到下面的定理定理8.2（傅氏积分定理）如果f（t）在（一α0，十0）上的任一有限区间满足秋氏条件，且在（一，十）上绝对可积（即If(t) /dt<十），则（8.4)式成立.在f（)的间断点处，（8.4)式的左端应为[f(t+0)+ f(t-0)].称（8.4）式为傅里叶积分公式，简称傅氏积分。2.傅里叶变换从（8.4)式出发，令F(w) :f(t)e-mdt.(8.5)则有f(t) =I{*" F(o)erdo.(8. 6)2T
$8. 1您里听变换的概念.191.求f (t).f(1)=.21F(w)) =F(w)e"da)解sin αlemdw=2元元tin.esintaL,则f(t)二记Sa(t):Su(at)，当t=0时，定义f(0)=t7信号~Sa（αt）（或者Su（t））称为抽样信号，由于它具有非常特殊的频谱形式，因而在连续时间信号的离散化、离散时间信号的恢复以及信号滤波中发挥了重要的作用，其图形如图8.4所示，αf(t)F(0)at02元元图8.4t0例8.4求单边指数衰减函数f（）（α>0）的傅氏t<o10.变换，并画出频谱图解f(t)e mdtF(w)= Frf() =a+jadt(α - jo)1+jwa2+振幅谱为
:193:88.2单位脉冲函数（函数）x, x=0,(8. 8)p(r) = limp(r) =0,r0.显然，仅用（8.8）式这种“常规”的函数表述方式，并不能反映出质点本身的质量，必须附加一个条件p(）d=m，为此我们需要引人一个新的函数，即所谓的单位脉冲函数，又称为狄拉克函数或者函数，38.2.1单位脉冲函数的概念及其性质依照上面的例子，我们可以简单地定义单位脉冲函数（t）是满足下面两个条件的函数：(1）当t#0时，8（t）=0;8(t)dt= 1.(2)这是由狄拉克给出一种直观的定义方式，按照此定义，则例8.5中的质点的密度函数为o(r）=mo（）这里需要指出的是，上述定义方式在理$5e(0)论上是不严格的，它只是对函数的某种描述，事实上，函数并不是经典意义上的函数，而是一个广义函数，因此，关于函数的严格定义可参阅有关广义函数方面的书籍另外，函数在现实生活中也是不存在的，它是数学抽象的结果.有时入们将函数直观图8.6的理解为（t）=limo.（t），其中（t)是宽度为e高度为1/e的矩形脉冲函数（图8.6）下面我们不加证明地直接给出函数的几个基本性质，性质8.1设f(t）是定义在实数域R上的有界函数，且在1=0处连续，则?(t)f(t)dt=f(o),(8.9)一般地，若f（t）在t一点连续，则