第三节面教的微 可导与可微的关系 本节 额|定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导,且A=f(xn) 求 本节 证(1)必要性∵(x)在点x可微, 重点 ∴4y=A·△x+(△,∴2三A,0(△x) 与难 △y 本节 △v 指导 则lm △ 0(△x) =A+lim =A △x→0△c △x→>0△x 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 可导与可微的关系 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 = 定理 函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节教的微 (2)充分性函数f(x)在点x0可导 本节 △y 知识 引入 △x→0△x =f(x),即=∫(xn)+a, 本节 自的从而Ay=f(x1)·△x+a(△x),:α→0(Ax→0, 求 本节 重点 =f(x0)·△x+o(△x), 与难 点 本节 函数f(x)在点x可微,且f(x)=A 删可导可微A=f(x 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作的或矿(x即p=f(x)Ax 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 (2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节的微 例1求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 本节 飘解:d=(x2)△Ax=3x2Ax. 本节 目的 da2=3x2△xx2=0.24 求 △r=0.02 △r=0.02 本节 当通常把自变量的增量A称为自变量的微分 点 本记作,即=△x 指导 ∴四=∫(x) 小y =f(x) 即函数的微分与自变量的微分之商等于 吗该函数的导数导数也叫微商 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 例1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x 3 当 x = x = 时的微分 dy = (x )x 3 3 . 2 = x x 0.02 2 2 0.02 2 3 = = = = = x x x dy x x x = 0.24. , . , dx dx x x x = 记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. f (x). dx dy = 该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节的微 微分的几何意义 本节 几何意义:(如图) T 曾当A是曲线的纵 o(△x) 求 本坐标增量时, 占 y=∫(x) 就是切线纵坐标 △x 智对应的增量 指导 x0x0+△x 当△x很小时,在点M的附近, 切线段MP可近似代替曲线段MN 后退 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 微分的几何意义 y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o x 几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y x + x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当 很小时 在点 的附近 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节面教的微 二、微分的运算 本节 知识 引入 d y=f(x)dx 本节 求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分 求 |1基本初等函数的微分公式 与难 点d(C)=0 d(x)=wxdx 本节 删习|d(sinx)= cos xdx a(cosx)=- sin xdx d(tan x)=sec xdx d(cot x)=csc xdx d(sec x)=sec x tan xdx d(csc x)==csc x cot xdx 后退 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 二、微分的运算 dy = f (x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 d x x xdx d x x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d C d x x dx (sec ) sec tan (csc ) csc cot (tan ) sec (cot ) csc (sin ) cos (cos ) sin ( ) 0 ( ) 2 2 1 = = − = = − = = − = = − 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导