《矩阵论》课程教学讲义：第五讲 对角化与 Jordan标准形

第五讲对角化与 Jordan标准形 正规矩阵 1.实对称矩阵与厄米矩阵 实对称矩阵:实矩阵AA=A 厄米矩阵:复矩阵AA=A 实反对称矩阵:实矩阵AA=-A 反厄米矩阵:复矩阵AAH=-A 2.正交矩阵和酉矩阵 正交矩阵:实矩阵AAA=AA=(A=A 酉矩阵:复矩阵AAA=AH"=Ⅰ(A=A) 3.正交相似变换和酉相似变换 P为正交矩阵,A为实矩阵,PAP为对A的正交相似变换; P为酉矩阵,A为复矩阵,PAP为对A的酉相似变换 4.正规矩阵 实矩阵A,若满足AA=A,则A为实正规矩阵; 复矩阵A,若满足AA=AA,则A为复正规矩阵 显然,实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5.相似矩阵具有相同的特征多项式→>相同的特征值、迹、行列式。 det(al-p aP)=det[p (al-a)Pi det(p )det(al- a)det(p) det(P )det( p)det(al-a) det(al-a)

第五讲 对角化与 Jordan 标准形 一、正规矩阵 1. 实对称矩阵与厄米矩阵 实对称矩阵：实矩阵 A T A A = 厄米矩阵：复矩阵 A H A A = 实反对称矩阵：实矩阵 A T A A = − 反厄米矩阵：复矩阵 A H A A = − 2. 正交矩阵和酉矩阵 正交矩阵：实矩阵 A T T A A AA I = = （ 1 T A A − = ） 酉矩阵：复矩阵 A H H A A AA I = = （ 1 H A A − = ） 3. 正交相似变换和酉相似变换 P 为正交矩阵， A 为实矩阵， 1 P AP − 为对 A 的正交相似变换； P 为酉矩阵， A 为复矩阵， 1 P AP − 为对 A 的酉相似变换。 4. 正规矩阵 实矩阵 A ，若满足 T T A A AA = ，则 A 为实正规矩阵； 复矩阵 A ，若满足 H H A A AA = ，则 A 为复正规矩阵。 显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5. 相似矩阵具有相同的特征多项式 → 相同的特征值、迹、行列式。 1 1 det( ) det[ ( ) ]   I P AP P I A P − − − = − 1 1 det( ) det( ) det( ) det( ) det( ) det( ) det( ) P I A P P P I A I A    − − = − = − = −

det(aB)=det(a)det(B)) 二、酉对角化 L. Schur引理:设数λ,2…,λ是n阶方阵A的特征值,则存在酉矩阵U,使 证明设x1是A的属于特征值λ1的特征向量,即Ax1=A2x1, ≈X1,并由其扩充为一组标准正交向量u42l2…,ln 令U0=[ an,U为酉矩阵 uu l l2 u2 u u2 l2 u1 l2 u l 对A进行酉相似变换: 84=1|442…a] Auj)nxn 第一列:lA4=n=1"a,01≠1 1i=1

（ det( ) det( )det( ) AB A B = ） 二、酉对角化 1. Schur 引理：设数 1 2 , , ,   n 是 n 阶方阵 A 的特征值，则存在酉矩阵 U ，使 1 1 2 0 n U AU    −      =         [证明] 设 1 x 是 A 的属于特征值 1 的特征向量，即 Ax x 1 1 1 =  ， 1 1 1 x u x = ，并由其扩充为一组标准正交向量 1 2 , , , n u u u 0 1 H i j i j u u i j   =   = 令 U u u u 0 1 2 =  n ，U0 为酉矩阵   1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 0 0 1 2 1 2 H H H H n H H H H H n n n H H H H n n n n n u u u u u u u u u u u u u u U U u u u I u u u u u u u         = = =                 对 A 进行酉相似变换：   ( ) 1 2 0 0 1 2 H H H H n i j n n H n u u U AU A u u u u Au u      = =         第一列： 1 1 1 1 1 1 0 1 1 H H H i i i i u Au u u u u i      ===   =

UR AU un u2 l3 u l2 un 相似矩阵具有相同的特征值,因此,对于A1,其特征值为入2…,2,与 上相同,可得一个酉矩阵U1,使得 A 2)×(n-2) 依次类推,分别可找到酉矩阵U2,U3…,Un2使 0 0 02n 0201「n20 令0=00U10U 0 U U是西矩阵,UU=I LAU=?

( ) 1 0 0 1 ( 1) ( 1) 0 0 H n n U AU A  −  −        =         ( )   2 2 2 2 3 1 2 3 ( 1) ( 1) 2 H H H H n n n n H H H n n n n u u u u u u A A u u u u u u u u −  −         = =               相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于 A1 ，其特征值为 2 , ,  n ，与 上相同，可得一个酉矩阵 U1 ，使得 ( ) 2 1 1 1 2 ( 2) ( 2) 0 0 H n n U AU A  −  −        =         依次类推，分别可找到酉矩阵 2 2 , 3, , U U Un− 使 ( ) 3 2 2 2 3 ( 3) ( 3) 0 0 H n n U A U A  −  −        =         1 2 2 2 0 H n n n n n U A U   − − − −    =     令 2 2 0 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 n n I I U U U U U − −       =             U 是酉矩阵， H U U I = ? H U AU =

0 UAU URAU 0 U AU 0A1 0 A 101「41 040UL0U7 00 2 A UAU= 得证] 什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢? 2.定理:n阶方阵A,酉相似于对角阵的充要条件是:A为正规阵(实或复 证明由 Schur引理:存在酉矩阵U使得 A=UAU= 1≤i≤j≤n 1,2,…,是A的特征值 (UHAU 充分性已知A为正规阵,即AA=AH,要证tn=0

2 2 0 0 2 2 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 H H n n H H n n I I U AU U AU U U U U − − − −         =                 1 0 0 1 0 H U AU A     =     1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 * * 1 0 1 0 0 * 0 0 0 0 0 0 H H U A U U AU A                   = =                       1 2 * 0 H n U AU        =         [得证] 什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？ 2. 定理： n 阶方阵 A ，酉相似于对角阵的充要条件是： A 为正规阵（实或复）。 [证明] 由 Schur 引理：存在酉矩阵 U 使得 1 2 0 ij H n t U AU         = =         1   i j n 1 2 , , ,   n 是 A 的特征值。 ( ) 1 2 0 H H H ji n U AU t           = =         充分性:已知 A 为正规阵，即 H H A A AA = ，要证 0 ij t =

AA=AAU AA=0 AAU AA=AA AA A2F+∑ AAH P+∑h2 由对角元素相等可得t1=0,t21=0,…,t=0 UAU= 0 n 必要性:已知存在酉矩阵U使U"AU= A,要证A为正 0 n 规矩阵。 ∫AA"=UAU AA=AA UAU)("4"U)=(U"4U)(U4U)

H H H H H H U AA U U A AU  =    = H H  =   2 1 2 2 H         =         2 2 1 1 2 2 2 2 j H j t t     +      = +           由对角元素相等可得 1 0 j t = ， 2 0 j t = ， ， 0 nj t =  0 ij t =  1 2 0 0 H n U AU        =         必要性：已知存在酉矩阵 U 使 1 2 0 0 H n U AU        =         = ，要证 A 为正 规矩阵。 H H H H H H U AA U U A AU  =    = H H  =   ( )( ) ( )( ) H H H H H H U AU U A U U A U U AU =