第二章是与微 第三节函数的微分 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 、微分的概 与难点 念 本节复习 指 微分的运算 、微分在近似计算中的应用 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第三节 函数的微分 三、 微分在近似计算中的应用 二、 微分的运算 一、 微分的概 念 第二章 导数与微分 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导 后退 目录 主 页 退 出
第三节的微 问题的提出 额实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x+△x, △v 求 正方形面积A=x2, 重点 与难 点 ∴△A=(x0+△)2-x A 本节 指导 =2x0·△x+(△x)2 (2) (1):Ax的线性函数且为△A的主要部分; m-(2):△的高阶无穷小当△x很小时可忽略 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 0 正方形面积 A = x 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三常的微 再例如,设函数y=x在点x处的改变量 本节 知识 为△x时,求函数的改变量△y 引入 本节 △y=(x0+△x)3-x0 目的 求 =3x2·△x+3x0(△x)2+(△x)3 本节 (2) 重点 当△很小时,(2)是△A的高阶无穷小(△x), 本节 指导 Δy≈3x2·△x.既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 后退 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 0 y x x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三节的微 、微分的概念 飘定义设函数y=∫(x在某区间内有定义 本节x及x0+A在这区间内如果 目的 4y=f(x+△x)-f(x)=A△x+0(△x) 成立(其中4是与A无关的常数,则称函数 与难 y=f(x)在点x可微,并且称4△为函数 点 y=f(x)在点x相应于自变量增量∧x的微分, 记作小:或(x即小 =A·△ x=0 微分小叫做函数增量y的线性主部(微分的实质) 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 一、微分的概念 定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记 作 = 或 即 = 在 点 相应于自变量增量 的微分 在 点 可 微 并且称 为函数 成 立 其 中 是 与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如 果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质) 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第三常的微 由定义知: (1)d是自变量的改变量的线性函数 引入 (2)4y-=0(△x)是比A高阶无穷小 3(3)当4≠0时,小与是等价无穷小 本节 重点 与难 △y 点 s1+0(△x)1(x→0). 本节 A·△v 指导 (4)A是与△x无关的常数但与f(x和x有关; (5)当△x很小时,y≈d(线性主部) 后退 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; dy y A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部). 第三节 函数的微分 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导