二、旋转曲面(surface of revolution)定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面，称为旋转曲面这条定直线叫旋转曲面的轴轴此曲线称母线为方便,常把曲线所在母线平面取作坐标面，旋转轴取作坐标轴
二、旋转曲面 定义 绕其平面上的一条直线 这条定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称 旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面. 母线. 为方便, 平面取作坐标面,旋转轴取 作坐标轴. (surface of revolution) 常把曲线所在 以一条平面曲线 母线 轴
7旋转过程中的特征：M,(0, y1,z1)M(x,y,z)如图 设 M(x,J,z),C: f(y,z)= 0M,(0, Ji,z), f(y1,z)) = 0y(1) zi = zx(2)点M到z轴的距离 d=x2+2= Jl将 z =z, =±/2 +y代入f(y,z)=0得方程 f(±/x2+,z)=0
d 设 M(x, y,z), z = z 1 (1) 2 2 d = x + y 旋转过程中的特征： 如图 将 , 1 z = z f ( y1 ,z1 ) = 0 (0, , ), 1 1 1 M y z ( , ) 0 2 2 得方程 f x + y z = (2)点M到z轴的距离 | | 1 = y 2 2 1 y = x + y 代入 f ( y1 ,z1 ) = 0 x y z O (0, , ) 1 1 1 M y z M(x, y,z) C : f ( y,z) = 0
f(± /x2 +y2, z)=0即为 yOz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕轴旋转一周的旋转曲面方程同理,yOz坐标面上的已知曲线,f(y,z)=0绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为f(y, ±/x2 +z2)= 0
f ( y, ) = 0 2 2 x + z 旋转一周的旋转曲面方程. 即为 yOz坐标面上的已知曲线f ( y,z) = 0 同理, yOz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0 2 2 f x + y z = 绕z轴 绕y轴
总之，位于坐标面上的曲线C,绕其上的一个坐标轴转动，所成的旋转曲面方程可以这样得到曲线方程中与旋转轴相同的变量不动而用另两个的变量的平方和的平方根（加正负号）替代曲线方程中另一个变量即可
曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 : 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可
例1直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为T称为圆锥面的顶点,两直线的夹角α(0<α<=)2圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O，旋转轴为z轴,半顶角为α 的圆锥面的方程z.Z解yOz面上直线方程为z=ycotαM圆锥面方程z=±/x+ ycotαVX
10 解 z = y cot 圆锥面方程 cot 2 2 z = x + y 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为 圆锥面的顶点, 两直线的夹角 圆锥面的半顶角. ) 2 (0 称为 试建立顶点在坐标原点O, 旋 转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面的方程. yOz 面上直线方程为 M(x, y,z) • (0, , ) 1 1 1 M y z • 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 y x z O x y z O 例1