定理6.3.2设有理函数以x是真分式,多项式q(x)有1重共轭复 g(x) 根B±iy,即q(x)=(x2+2(x+n2)yq*(x),q*(B±i1y)≠0,其中5=-B, n2=B2+y2(22<n2)。则存在实数u,v和多项式p*(x),p*(x)的次数 低于(x2+25+n2)q*(x)的次数,成立 uu V p*(x) q(x)(x2+25x+n (x2+25+n2)2q*(x)°
定理 6.3.2 设有理函数 ( ) ( ) q x p x 是真分式，多项式 q(x) 有 l 重共轭复 根 i ,即 ( ) ( 2 ) *( ) 2 2 q x x x q x l = + + ， q *( i ) 0 ，其中 = − ， 2 2 2 = + （ 2 2 ）。则存在实数, 和多项式 p * (x)， p * (x)的次数 低于( 2 ) *( ) 2 2 1 x x q x l− + + 的次数，成立( 2 ) *( ) *( ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 2 2 1 x x q x p x x x x q x p x l l− + + + + + + =
定理6.3.2设有理函数以x是真分式,多项式q(x)有1重共轭复 9(x 根B±iy,即q(x)=(x2+2(x+n2)yq*(x),q*(B±i1y)≠0,其中5=-B, n2=B2+y2(22<n2)。则存在实数u,v和多项式p*(x),p*(x)的次数 低于(x2+25+n2)q*(x)的次数,成立 uu V p*(x) q(x)(x2+2+n2)(x2+25x+n2)-q*(x)° 证令 P(B+ir =(B+1y)+v g *(B+in) 其中,v为实数,则 plB-ir) =(B-1y)+v, q*(B-1y) 于是x=B±iy是多项式p(x)-(ax+v)y*(x)的根,设 p(x)-(x+v)q*(x)=(x2+25x+n2)p*(x), 就得到 P(x) La+ v p*(x) q(x)(x2+2(+n2)(x2+25x+n2)
证 令 ( i ) ( i ) *( i ) p q + = + + + ， 其中, 为实数，则 ( i ) ( i ) *( i ) p q − = − + − ， 于是 x = i 是多项式 p(x) − (x + )q *(x)的根，设 p(x) − (x + )q *(x) = ( 2 ) *( ) 2 2 x + x + p x ， 就得到 ( 2 ) *( ) *( ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 2 2 1 x x q x p x x x x q x p x l l− + + + + + + = 。 定理 6.3.2 设有理函数 ( ) ( ) q x p x 是真分式，多项式 q(x) 有 l 重共轭复 根 i ,即 ( ) ( 2 ) *( ) 2 2 q x x x q x l = + + ， q *( i ) 0 ，其中 = − ， 2 2 2 = + （ 2 2 ）。则存在实数, 和多项式 p * (x)， p * (x)的次数 低于( 2 ) *( ) 2 2 1 x x q x l− + + 的次数，成立( 2 ) *( ) *( ) ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 2 2 1 x x q x p x x x x q x p x l l− + + + + + + =
重复应用定理6.3.1与6.3.2,可将有理函数 pn(x) Pm(r) q,(X) 25kx+n2) 分解成简单分式之和,分解的规律是:若g(x)含有因子(x-a),则 在和式中就有项 x-ar (x-a 若qn(x)含有因子(x2+25x+n2)",则在和式中就有项 unIx Ak2x t vk2 ukn, xtl 5x+n2(x2+25x+m2)2 (x2+25x+mk) P(x) x+v q,(x) ∑ Gala(x-a,) +∑∑ kala=(x+25 x+n) 其中λ、μ、v可以用待定系数法具体算出来
重复应用定理 6.3.1 与 6.3.2，可将有理函数 p x q x m n ( ) ( ) = = − + + = j k n k k i k m k m k k x x x p x 1 2 2 1 ( ) ( 2 ) ( ) 分解成简单分式之和，分解的规律是：若q x n ( )含有因子 mk k (x − ) ，则 在和式中就有项 k k x − 1 , 2 2 ( ) k k x − ,…, k k m k k m (x ) − ； 若q x n ( )含有因子 k n k k (x 2 x ) 2 2 + + ，则在和式中就有项 2 2 1 1 2 k k k k x x x + + + , 2 2 2 2 2 ( 2 ) k k k k x x x + + + ,…, k k k n k k k n k n x x x ( 2 ) 2 2 + + + 。 即 p x q x m n ( ) ( ) = = = = + + + + − = j k n r r k k k r k r i k m r r k k r k k x x x x 1 1 2 2 1 1 ( ) ( 2 ) ， 其中k r、 k r、 k r可以用待定系数法具体算出来
由不定积分的线性性质,即知 它所涉及的不定积分只有两种类型:
由不定积分的线性性质，即知 ( ) ( ) m n p x x q x d 2 2 1 1 1 1 ( ) ( 2 ) m n k k i j k r k r k r r r k r k r k k k x x x x x x = = = = + = + − + + d d ， 它所涉及的不定积分只有两种类型：
由不定积分的线性性质,即知 它所涉及的不定积分只有两种类型: (n≥1) (x-a) 在例6.2.1,我们已经得到 (x-a) +C.n≥2
⑴ ( )n x x − d （ n 1）。 在例 6.2.1，我们已经得到 1 ln| | , 1, 1 1 ( ) , 2 . 1 ( ) n n x C n x x C n n x − − + = = − − + − − d 由不定积分的线性性质，即知 ( ) ( ) m n p x x q x d 2 2 1 1 1 1 ( ) ( 2 ) m n k k i j k r k r k r r r k r k r k k k x x x x x x = = = = + = + − + + d d ， 它所涉及的不定积分只有两种类型：