设T=x1=1,2,,}为对ab的任一分 割。由f(x)在[上有界知,它在每个Ax上 存在上、下确界: M=sup f(x) m,=inf f(x) x∈△x x∈△x i=1.2 作和SO)=MAx,8()=2m△A 分别称为f(x)关于分割T的上和与下和(或称 达布上和与达布下和,统称达布和)
设 T={ i x i = 1,2, , n }为对[ a ,b]的任一分 割。由 f (x) 在[ a ,b]上有界知，它在每个 i x 上 存在上、下确界： x xi Mi f x = sup ( ) , i x x i m f x = inf ( ) , i = 1,2, ,n . 作和 = = n i i i S T M x 1 ( ) ， = = n i i i s T m x 1 ( ) ， 分别称为 f (x)关于分割 T 的上和与下和（或称 达布上和与达布下和，统称达布和）
任给5∈A1,t=1,2,n,显然有 s(7)≤∑f()x,≤S(m 说明:与积分和相比,达布和只与分割T有关, 而与点分的取法无关 分别用S()、()和∑()记相应于分法 T的上(大)和、下(小)和与积分和 3. Darboux和的性质:本段研究 Darboux和的性 质,目的是建立 Darboux定理先用分点集定义分法 和精细分法:T≤T表示T是T的加细
任 给 i i x ， i = 1,2 ,n ， 显 然 有 s(T) f ( ) x S(T) i i . 说明：与积分和相比，达布和只与分割 T 有关， 而与点 i 的取法无关. 分别用 ( ) __ S T 、s(T)和(T)记相应于分法 T 的上（大）和、下（小）和与积分和. 3. Darboux 和的性质: 本段研究 Darboux 和的性 质, 目的是建立 Darboux 定理.先用分点集定义分法 和精细分法: T T 表示T 是T 的加细
【性质1】在区间的一个固定分法△下,达布 下和S(△)与达布上和S(△)分别是积分和S(△5)的下 确界与上确界,即 S(△)=inf{s(△.)S()=sp{(.5) 【证】下面证明式第一式 inf f(x)l 已知 xk-1≤x≤x 根据下确界定义 Vg>0彐5k∈[xk=12xk1 使
【性质 1】 在区间a b, 的一个固定分法 下，达布 下和 S( ) 与达布上和 S ( ) 分别是积分和 S( , ) 的下 确界与上确界，即 S S ( ) inf ( , ) = ， S S ( ) sup ( , ) = 【证】 下面证明式第一式. 已知 1 inf ( ) k k k x x x m f x − = ，根据下确界定义， 0 ， 1 [ , ] k k k x x − ，使