【证】将[0,1区间n等分,即取分法 k △:x=-,k=02122,……,n 72 取 k「k-1k ∈ 其中 n n k=2,3,…’,n,此时,相应的积分和 S(△ 2( )△ =1 11 2 n 4 7 72 72
【证】 将[0，1]区间 n 等分，即取分法 : , 0,1,2, , k k x k n n = = ；取 { } = k ， 其 中 1 4 1 1 0, n n = ， 1 , k k k k n n n − = ， k n = 2,3, , ，此时，相应的积分和 S (, ) ( ) 1 n k k k f x = = = 4 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n + + + =
n+-r(-+=+…+-=)→>0 n (a(△)->0) m 故 d(△)->0 不存在,从而(x)在[O.1上不可 注:该定理指出任何可积函数一定是有界,但要 注意的是:有界函数不一定可积 1,当x为有理数 例2证明秋利克雷函数D(x)= 0,当x为无理数 在[O,11上有界但不可积
1 1 1 1 ( ) 2 3 n n n + + + + → ( ( ) 0) d → 故 ( ) ( ) 0 lim , d S → 不存在，从而 f x( ) 在0,1上不可 积. 注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要 注意的是：有界函数不一定可积. 例 2 证明狄利克雷函数 = 当 为无理数 当 为有理数 ， x x ， D x 0 1, ( ) 在[0，1] 上有界但不可积
【证】对于[O,1的任意分法 △ 0<x1<x0<…<x=1 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性,在的没 有一个子区间上既有有理数,也有无理数 若取5=5},且5是[x,x]上的有理数,则积分和 S(△,∠)=2D(5Ax=2△x=1 k=1 若取5={5),且5k是x,x上的无理数,则积分和 S(△ ∑D(5)Ax=∑0.△x=0 5
【证】对于0,1的任意分法 : 0 1 2 0 1 n x x x x = = 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在0,1的没 有一个子区间上既有有理数，也有无理数 若取 { }k = ，且 k 是 1 [ , ] k k x x − 上的有理数，则积分和 S ( = , ) ( ) 1 1 1 n n k k k k k D x x = = = = 若取 { } k = ，且 k 是 1 [ , ] k k x x − 上的无理数，则积分和 S ( = , ) ( ) 1 1 0 0 n n k k k k k D x x = = = =
imS(△)=1mS(A5)=0 从而“(△)→0 d(△)->0 ,根据定义 知,D(x)在[0上不可积 可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积,由定义,可直接考 察积分和是否能无限接近某一常数,但由于积分和 的复杂性和那个常数不可预知,因此这是极其困难 的.下面即将出的可积准则只与被积函数本身有 关,而不涉及定积分的值
从 而 ( ) ( ) 0 lim , 1 d S → = ， ( ) ( ) 0 lim , 0 d S → = ，根据定义 知， D x( ) 在0,1上不可积. 二 可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考 察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和 的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难 的.下面即将出的可积准则只与被积函数本身有 关，而不涉及定积分的值
1.思路与方案: 思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分 和.用相应于分法T的“最大”和“最小”的两个“积分 和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分 和有极限,且与分法T及介点5无关的条件 方案:定义上和S()和下和S(T).研究它们的性质 和当→0时有相同极限的充要条件 2.达布 Darboux1842~1917法国数学家)上和与下和的定 义
1.思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分 和. 用相应于分法T 的“最大”和“最小”的两个“积分 和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分 和有极限, 且与分法 T 及介点 i 无关的条件 . 方案: 定义上和 ( ) __ S T 和下和 s(T) . 研究它们的性质 和当 T → 0 时有相同极限的充要条件 . 2.达布(Darboux 1842～1917 法国数学家) 上和与下和的定 义