浙江大学 二OO四年攻读硕士研究生入学考试试题 (15分)设函数f(x)在区间X上有定义。试证明:f(x)在X上一致连续的充要条件是对 区间X上任意的两数列{xn}与{xn"},当lim(xn-xn)=0时,有im(f(xn)-f(xn)=0。 (15分)设函数f(x)在区间(-11)内具有直到三阶的连续导数,且f(0)=0,imf(x)=0。 试证明:∑/(-)绝对收敛。 .(15分)设函数f(x)在区间[ab]上可微,且f(x)在a点的左导数fta)<0,在b点的右 导数∫(b)<0,f(a)=f(b)=c。证明:f(x)在(a,b)内至少有两个零点 四.(15分)设函数f(x)在区间[ab上 Riemann可积,且「f(xdx<0。试证明:存在闭区间 [a,B]c[a,b]使得当x∈[a,B时,f(x)<0 五.(15分)证明:若一族开区间{}覆盖了闭区间[O,,则必存在一正数δ>0,使得[0,1中 任何两点xx”满足(x-x"<δ时,必属于某个开区间la∈{n} 六.(15分)用球面坐标x=rsin0cos,y= rsin sin,z= rcos e变换方程 a2u au au 七.(10分)计算:[2x5xdx。 0 1+cosx 八.(15分)求u=x2+y2+2在条件 +5=1下的最大最小值,其中a>b>c>0。 九(15分)利用公式=-2edx(x>0)计算积分 snxx=24x的值。(说明计算过程中每一步的合理性) 十.(20分)(1)设Ω为R3中光滑区域,aQ为其边界,u在Ω+∂g上有连续二阶导数。 证明 其中为沿边界a外法线方向的导数,d为边界上的面积元,△=2+2+ (2)P∈R的坐标为(,n,2),函数r(x,y,z)=(x-5)2+(y-n)2+(-2) 证明:△-=0在R31{P}上成立。 (3)设B(P,)是以P为中心δ为半径的球,aB(P,δ)为其边界。若在B(P,δ)上u满足△n=0, 则(P)= ds
浙 江 大 学 二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试试题 一．（15分）设函数 f (x ) 在区间 X 上有定义。试证明： f (x )在 X 上一致连续的充要条件是对 区间 X 上任意的两数列 ' { }n x 与{ '} m x ，当lim( n ' m ') 0 n x x Æ• - = 时，有lim( ( n ') ( m ')) 0 n f x f x Æ• - = 。 二．（15分） 设函数 f (x) 在区间 (-1,1) 内具有直到三阶的连续导数， 且 f (0) = 0， 0 '( ) lim 0 x f x Æ x = 。 试证明： 2 1 ( ) n nf n • = 绝对收敛。 三．（15分）设函数 f (x) 在区间[a,b ]上可微，且 f (x) 在a 点的左导数 f+ '(a) < 0 ，在b 点的右 导数 f- '(b) < 0， f (a) = f (b) = c。证明： f '(x) 在(a,b )内至少有两个零点。 四.（15分）设函数 f (x ) 在区间[a,b]上Riemann可积，且 ( )d 0 b a f x x < Ú 。试证明：存在闭区间 [a, b ] à [a,b]使得当 xŒ [a, b ]时， f (x) < 0。 五.（15分） 证明：若一族开区间{ }a I 覆盖了闭区间[0,1] ，则必存在一正数d > 0，使得[0,1] 中 任何两点 x ', x ''满足 x '- x '' < d 时，必属于某个开区间 I {I } b Œ a 。 六.（15分）用球面坐标 x = rsinq cosj, y = rsinq sinj,z = r cosq 变换方程 2 2 2 2 2 2 0 u u u x y z ¶ ¶ ¶ + + = ¶ ¶ ¶ 七.（10分）计算： 2 2 0 sin d 1 cos x x x x p + Ú 。 八.（15分）求 2 2 2 u = x + y + z 在条件 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 下的最大最小值，其中 a > b > c > 0。 九．（15分）利用公式 2 0 1 2 d 0 xy e x x x p • - = > Ú ( ) 计算积分 2 0 0 1 sin sin( )d d 2 x x x x x • • = Ú Ú 的值。（说明计算过程中每一步的合理性） 十．（20分）（1）设W 为 3 R 中光滑区域， ¶W 为其边界，u,v 在W + ¶W 上有连续二阶导数。 证明： ( )d d d ( )d v u u v v u x y z u v S n n W ¶W ¶ ¶ D - D = - ¶ ¶ ÚÚÚ ÚÚ 其中 n ¶ ¶ 为沿边界¶W 外法线方向的导数， dS 为边界上的面积元， 2 2 2 2 2 2 x y z ¶ ¶ ¶ D = + + ¶ ¶ ¶ 。 （2） 3 PŒ R 的坐标为(x ,h,z ) ，函数 2 2 2 r(x, y,z) = ((x -x ) + ( y -h) + (z -z ) ) 证明： 1 0 r D = 在 3 R \{P}上成立。 （3）设 B(P,d ) 是以 P 为中心d 为半径的球， ¶ B(P,d )为其边界。若在 B(P,d )上u 满足Du = 0， 则 2 ( , ) 1 ( ) d 4 B P u P u S d pd ¶ = ÚÚ