一、齐次线性方程组 例1设A为n阶矩阵,证明 R(A)=R(). 证明由于若Ax=0,有AAx=0,这说明凡是 Ax=0的解必为AAx=0的解。 另一方面,若AAx=0,我们记Ax=y,则有 yy=x'a'ax=x(a'Ax)=0,则y=0,亦 即Ax=0.这说明凡是AAx=0的解必为Ax=0的 解。故A'Ax=0与Ax=0的同解。当两齐次线性 方程组同解,意味着它们的基础解系包含的向 量个数相等,亦即有: n-R(A)=n-R(A'A) 所以R(A)=R(A'a)
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在前面的几节中,我们已经讨论了行列式的基本 理论及其运算法则,在此节中,我们将行列式的理论 及运算应用于解决n个变量、n个方程的线性方程组的 求解问题
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例1证明:向量组a1(≠0),a2,…,a线性 相关的充分必要条件是其中至少有一个a,1
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定义1设IRn中的向量组A:a1,2,…an 线性无关,β是IR中中任一向量, 则,a1,a2,…,an线性相关(因为这 是n+1个n维向量,向量个数大于向量维数),于 是根据第三章第二节定理2知道向量可以用a1, a2…a唯一线性表示 =k1a1+k2a2++knan 我们称向量组A:a1,a2,…,an为空间 IR的一组基(basis),把数k1k2,k称为 向量在基a1,a2,…,an下的坐标
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定义1设a1,a2,…,am,β是一组n维 向量,若存在m个实数k1,k2,…km使得 β=ka1+k2a2++kmam,则称β可以 由a1,a2,…,an线性表示( linear representation).或称a1,a2,…,an线性 表示(linear generate) 例如:a1=(1,2,0)T,a2=(1,0,3)T,a3= (3,4,3)T,则a3=2a1+a2,即存在实数k =2,k2=1使得a3=ka1+k2a2,故a3可以 由a1,a2线性表示。(大家想一想,这里的常 数k1=2,k2=1是怎么求出来的?)
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行向量组a1=(a1,a2…,am),i=1,2,…,m可以构成矩阵称矩阵A是由向量组α1,Q2,…,αm所构成的矩阵,而向量组α1,α2,…,αm称为矩阵A的行向量组
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定义1n个有顺序的数a1,a2,an所组成的有序数 组 a= (a a2,,) 称为n维向量。数a,a2,…,an叫做向量a的分量,a 称为向量a的第i个分量。若一个向量的分量都为实 数,则称此向量为实向量;若向量的分量为复数, 则称此向量为复向量。本章只讨论实向量。一般我 们用小写黑体字母a,,或带箭头的小写字 母 a表示向量
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定理1(1)若矩阵A经过有限次初等行变 换变成B,则A的行向量组与B的行向量组等价; 而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量 有相同的线性相关性。 (2)若矩阵A经过有限次初等列变换变 成B,则A的列向量组与B的列向量组等价;而 A的任意k个行向量与B中对应的k个行向量有 相同的线性相关性
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《随机模拟方法与应用 Stochastic Simulation Methods and Its Applications》教学资源（论文资料）20 基于MCMC方法的继电器加速寿命试验分析（西北工业大学：李凌、徐伟）济南大学：研究生院《数学》专业课程教学大纲汇编中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第四章 函数逼近华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.5.3）定理6（复合函数的极限运算法则）华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十二章（12.11.1）把y及y《数学分析》PPT教学课件：第十四章 幂级数黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 无穷极数（11.4）函数展开成幂级数中国矿业大学：《运筹学》课程教学课件（讲稿）Chapter 8 图与网络分析《数值计算》课程教学课件（讲稿）第1章 绪论（1/2）中国科学技术大学：《数理逻辑》课程教学资源（电子教案，PPT课件讲稿）《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限_第九节连续函数的运算与初等函数的连续性