第十四章幂级数 §1幂级数 幂级数的一般概念 型如∑a(x-x)和∑anx的函数项级数称为幂级数.幂级数 n=0 由系数数列an}唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下着重 讨论型如∑an"的幂级数 幂级数的收敛区间 2021/2/24
2021/2/24 1 第十四章 幂 级 数 §1 幂 级 数 幂级数的一般概念. 型如 = − 0 0 ( ) n n n a x x 和 n=0 n n a x 的函数项级数称为幂级数. 幂级数 由系数数列{ }n a 唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下着重 讨论型如 n=0 n n a x 的幂级数. 一. 幂级数的收敛区间
定理1(Abel定理)若幂级数∑a,x"在点x=x≠0收敛 则对满足不等式x<x的任何x,幂级数∑ax收敛而且绝对收 敛;若在点x=x发散,则对满足不等式|x|>|x1的任何x,幂级 数∑anx"发散 证∑an"收敛,{a}有界.设|anx"|≤M,有 a,x"=a,x"1P≤M”,其中r=3|< ∑M"<+∞,→∑|anx"|<+0 定理的第二部分是第一部分的逆否命题 2021/2/24
2021/2/24 2 定理 1 （ Abel 定理 ） 若幂级数 n n a x 在点x = x 0收敛 ， 则对满足不等式| x | | x |的任何x，幂级数 n n a x 收敛而且绝对收 敛 ；若在点x = x发散 ，则对满足不等式| x | | x |的任何x，幂级 数 n n a x 发散. 证 n n a x 收敛, { n n a x }有界. 设| n n a x | M , 有 | n n n n n n Mr x x a x |=| a x | | | , 其中 =| | 1 x x r . +, n Mr | | + n n a x . 定理的第二部分是第一部分的逆否命题
定义(收敛半径)由定理1,幂级数∑ax的收域是以原点为中 心的区间,若以2R表示该区间长度,则称R为幂级数∑ax的收敛 半径R 定理142(幂级数的收敛半径)对于幂级数∑anx设p=limy{a, 则 1)0<p<+∞0时,幂级数的收敛半径R 2)p=0时,幂级数的收敛半径R=+∞0 2021/2/24 3
2021/2/24 3 定义（收敛半径）由定理 1，幂级数 n n a x 的收域是以原点为中 心的区间，若以2R表示该区间长度，则称 R 为幂级数 n n a x 的收敛 半径 R. 定理 14.2（幂级数的收敛半径）对于幂级数 n=0 n n a x 设 n n n a → = lim ， 则 1）0 + 时，幂级数的收敛半径 1 R = 2） = 0 时，幂级数的收敛半径 R = +
3)p=+0时,幂级数的收敛半径R=0 证1m9ax|= lim/ a,| x=px,(强调开方次数与的次数 是一致的).→… 由于m1=p,lmla=,因此亦可用比值法求收敛半 n→00 n→0 径 推论若p=lmn|“,则幂级数的收敛半径R n→00 2021/2/24
2021/2/24 4 3） = + 时，幂级数的收敛半径 R = 0 证 n→ lim = n n n | a x | n→ lim | a | | x | | x | n n = , ( 强调开方次数与x的次数 是一致的). …… 由于n→ lim , | | | | +1 = n n a a n→ lim n | an | = , 因此亦可用比值法求收敛半 径. 推论 若 lim | | 1 n n n a a + → = ， 则幂级数的收敛半径 1 R =
例1求级数 的收敛区域 n=11 解两种方法都得到p=1,即R=1,收敛区间为(-1,1),又 x=1时,级数为∑,所以原级数收敛,即收敛区域为1 n 例2求幂级数x+x+…1x+…的收敛域 例3求下列幂级数的收敛域: (i) 2021/2/24 5
2021/2/24 5 例 1 求级数 =1 2 n n n x 的收敛区域。 解 两种方法都得到 = 1，即 R = 1，收敛区间为 (−1 , 1)，又 x = 1 时，级数为 =1 2 1 n n ，所以原级数收敛，即收敛区域为[−1 , 1]。 例 2 求幂级数 + ++ + n x x x n 2 2 的收敛域 . ( [ −1,1) ) 例 3 求下列幂级数的收敛域: (i) =0 ! n n n x ; (ii) =0 ! n n n x