高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有 连续的偏导数,且F(x0,y)=0,F(x0,y)≠0, 则方程F(x,y)=0在点P(x,y)的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y=∫(x),它满足条件y0=f(x0),并有 小yF 隐函数的求导公式 Http://www.heut.edu.cn
1. F(x, y) = 0 设函数F( x, y)在点 ( , ) 0 0 P x y 的某一邻域内具有 连续的偏导数，且F(x0 , y0 ) = 0，Fy (x0 , y0 ) 0， 则方程F( x, y) = 0在点 ( , ) 0 0 P x y 的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y = f ( x)，它满足条件 ( ) 0 x0 y = f ，并有 y x F F dx dy = − . 隐函数的求导公式 隐函数存在定理1 一、一个方程的情形
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1 的隐函数y=∫(x),并求这函数的一阶和二阶导 数在x=0的值. 解令F(x,y)=x2+y2-1 则F=2x,F=2y, F(0,1)=0,F(0,1)=2≠0, 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的 函数y=f(x) Http://www.heut.edu.cn
例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x = 0时y = 1 的隐函数y = f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x = 0的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − 则 F 2 x , x = F 2 y , y = F ( 0 , 1 ) = 0 , ( 0,1 ) = 2 0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0 时y = 1的 函数 y = f (x)．
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 函数的阶和二阶导数为 dy 0 2 d J y y=xty 2 2 2 Http://www.heut.edu.cn
函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy = − , y x = − 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y − = − 2 y y x y x − − = − , 1 3 y = − 1. 0 2 2 = − x= dx d y