第6章 例1.验证函数x=C coskt+C2sink1(C,C2为常数) 是微分方程 +k2x三0的解。并求满足初始条件 x=0=A,dx 的特解 解： d2x dr1=0=0 =-Ck2 cos kt -C,k2 sin kt =-k2(C]sinkt+C2 coskt)=-k2x 这说明x=C,coskt+C,sinkt是方程的解 C1,C2是两个独立的任意常数，故它是方程的通解 利用初始条件易得：C1=A,C2=0,故所求特解为 x=Acoskt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 验证函数 是微分方程 的解, , x t=0 = A 0 d 0 d = t t = x 的特解 . 解: ( sin cos ) 1 2 2 = −k C kt +C kt 这说明 x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, ( , ) C1 C2为常数 利用初始条件易得: 故所求特解为 x = Acos k t 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章
法达女老选溪敦 UNVERSITY CM 146 武等数兴 第一百一十三讲 常微分方程 主讲教师：高彦伟 总课时：124
主讲教师：高彦伟 总课时：124 第一百一十三讲 常 微 分 方 程
第6章 §2 可分离变量微分方程 变量可分离的微分方程 =fxg） dx 解变量可分离方程g(y)dy=f(x)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §2 解变量可分离方程 g(y)dy = f (x)dx 变量可分离的微分方程 第6章 f (x) g( y) dx dy =
分离变量方程的解法： 第6章 g(y)dy=f(x)dx 设y=p(x)是方程①的解，则有恒等式 g(p(x))o'(x)dx=f(x)dx 两边积分，得 ∫gy)dy=∫f(x)dx G(y) F(x) 则有 G(Y)=F(x)+C 当Gy)与Fx)可微且G'y)=gy)0时，上述过程可逆 说明由②确定的隐函数y=x)是①的解.同样，当F'(x) =fx)0时，由②确定的隐函数x=y)也是①的解 称②为方程①的隐式通解，或通积分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
分离变量方程的解法: g(y)dy = f (x)dx 设 y＝ (x) 是方程①的解, g( (x))(x)dx f (x)dx 两边积分, 得 f (x)dx = ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章
例1.求微分方程 =3x2y的通解 第6章 解：分离变量得 dy 3x2 dx 说明：在求解过程中 每一步不一定是同解 两边积分 f-jd 变形，因此可能增、 减解 得 In y =x3+C 或 即 y=±ex'+G=±e9e 令C-±eC In y=x3+In C D=Cex3 (C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0)》 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 x x y y 3 d d 2 = 两边积分 得 1 3 ln y = x +C ln y x ln C 3 = + 即 C1 令C = e ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章