吉林大学：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第二章 一元函数微分学 §5 函数的微分

第二章 §5离数的微分 微分的概念 二、 微分的几何意义 三、微分运算法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、微分的几何意义 三、微分运算法则 一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §5函数的微分 第二章

一、微分的概念 引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其 边长由xo变到x,+△x,问此薄片面积改变了多少？ 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当边长x取 得增量Δx时，面积的增量为 △M=(x,+△x)2-x △x x0△x =2xoAx+(△ xo A=x xoAx 关于△x的 △x→0时为 线性主部 高阶无穷小 故△4≈2x0△x 称为函数在x,的微分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当边长 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义：若函数y=f(x)在点xo的增量可表示为 △y=f(xo+△x)-f(xo)=A△x+o(△x) (A为不依赖于△x的常数 则称函数y=f(x)在点x,可微，而A△x称为f(x)在 点xo的微分，记作dy或df,即 dy=A△x 定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点xo处可导，且A=∫'(x,),即 dy=f'(xo)△x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 dy = f (x )x 0 在点 可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(x),即 dy=f'(xO)△x 证：“必要性 已知y=f(x)在点x可微，则 △y=f(x,+△x)-f(x)=A△x+O(△x) Ay=lim (+(Ax))=A lim A △x->0△X△x-→0 ΛX 故y=f(x)在点x的可导，且f'(xo)=A HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x   = +     →  → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理：函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(x),即 dy=f'(xO)△x “充分性”已知y=f(x)在点x的可导，则 lim Ay=f(xo) △x>0△X =f"(xo)+a lim a=0) △x-→0 故△y=f'(x)△x+CAx=f'(xo)Ax+o(Ax) 线性主部 (∫'(xo)≠0时) 即dy=f'(xo)△x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性” 已知 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 =  →  x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f  x x + o x  线性主部 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束