吉林大学：《线性代数》课程电子教案（PPT课件）第三章 线性方程组与向量组的线性相关性

第三章线性方程组与向量组的线性相关性 第一节消元法与线性方程组的相容性 一、线性方程组的相容性与克莱姆法则 一般地，n个未知量m个方程的线性方程组可以表示为 a11X1+a12X2+…+a1nXn=b1, a21X1+a22X2+…+a2mXn=b2, (1) amx+am2X2++ammxn =bm2 其中X1,x2,…,x是方程组的n个未知量，a,(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n) 是第个方程中第个未知量x的系数，b,(i=1,2,…,m)是第个方程 的常数项 2

2 第三章 线性方程组与向量组的线性相关性 第一节 消元法与线性方程组的相容性 一、线性方程组的相容性与克莱姆法则 一般地，n个未知量m个方程的线性方程组可以表示为                  , , , 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b           （1） 其中 是方程组的n个未知量， 是第i个方程中第j个未知量 的系数， 是第i个方程 的常数项． n x , x , , x 1 2  a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) ij     j x b (i 1,2, ,m) i  

若记 a11 12 a21 022 A= ,北s b= … am Xn b. 则按矩阵乘法和矩阵相等的定义，()式可写成 Ax=b, (2) 其中m×n矩阵A称为线性方程组(1)的系数矩阵，m×(n+1)矩阵 A=(A,b)称为方程组(1)的增广矩阵。 当b=0即b=b2=…=bm=0时，相应的方程组称为齐次线性方程组， 此时，方程(2)即为 Ax=0 (3) 3

3 其中 矩阵 称为线性方程组(1)的系数矩阵， 矩阵 称为方程组(1)的增广矩阵． m  n A m  (n 1) ( , ) ~A  A b 当b  0即 b1  b2  bm  0时,相应的方程组称为齐次线性方程组． , ,        m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 A , 若记        xn x x x  2 1 1 2 , m b b b b         Ax  b (2) 则按矩阵乘法和矩阵相等的定义，(1)式可写成 ． 此时，方程(2)即为 Ax  0 （3）

如果用常薮1,52，…，5依次代替线性方程组(1)中的n个未知量 X1,X2,…,X时，(1)中m个方程均成为恒等式，则称x1三5，x2三 52,…,xn=5m为(1)的一个解.此时也说方程组(1)有解，并称向量 5 为(1)的一个解向量，或说x=是Ab的解。 当线性方程组有解时，就说该方程组是相容的，否则就说它 是不相容的. 若x=5≠0满足(3)式，则称X=ξ是齐次线性方 程组的一个非零解.很显然，任何齐次线性方程组都有零解x=0 所以齐次线性方程组总是相容的.那么，非齐次线性方程组 Ax=b(b≠0)在什么条件下才相容呢？

4 如果用常数 依次代替线性方程组(1)中的n个未知量 时，(1)中m个方程均成为恒等式，则称 ， 为(1)的一个解． , 1 x n ξ ,ξ , ,ξ 1 2  n x , , x 2  1   1 x x2  n n  2 ,, x           n    2 1 ξ 此时也说方程组(1)有解，并称向量 为(1)的一个解向量, 或说 xξ 是 Axb 的解． 当线性方程组有解时，就说该方程组是相容的，否则就说它 是不相容的． 若 满足(3)式，则称 是齐次线性方 程组的一个非零解． x ξ  0 x ξ 很显然，任何齐次线性方程组都有零解 ， 所以齐次线性方程组总是相容的． x  0 那么，非齐次线性方程组 Ax  b(b  0) 在什么条件下才相容呢？

我们先来看一种特殊情形.设m=n,且|A卡0，即方阵A 可逆，则线性方程组(1)有且仅有一个解 x A-'b, 其中 A A An A- A2 A2 42 A 从而 A A21 b b41+b241+…+br Am A b2 b42+b2A22+…+bnAn2 : |4 An bAin+b2An++bnAm

5 我们先来看一种特殊情形．设 ，且 ，即方阵 A 可逆，则线性方程组(1)有且仅有一个解 m  n | A | 0 1 x A b,   其中         n n nn n n A A A A A A A A A | |        1 2 12 22 2 11 21 1 1 1 A A 从而              n n nn n n n b b b A A A A A A A A A        2 1 1 2 12 22 2 11 21 1 | | 1 A x                 n n n nn n n n n b A b A b A b A b A b A b A b A b A | |        1 1 2 2 1 12 2 22 2 1 11 2 21 1 1 A

若记D,为以b代替A中的第列所得到的行列式 a1 D d21 a2-H1b2 2,j1 j=1,2,…,n an an.j bn an.j ann 注意到b,在D,中的代数余子式为A,,将D,按第列展开得 D,=b4,+b2A2,+…+bnA,j=1,2,…,n 则有 D D2 即x---为方程组()的解。 6

6 若记Dj为以b代替| A|中的第j列所得到的行列式 j n a a b a a a a b a a a a b a a D n n j n n j nn j j n j j n j , 1,2, , 1 , 1 , 1 21 2, 1 2 2, 1 2 11 1, 1 1 1, 1 1                     注意到bi在Dj中的代数余子式为 Aij ，将 Dj按第j列展开得 Dj  b1A1 j  b2A2 j  bnAnj , j 1,2,,n 则有        Dn D D  2 1 | | 1 A x 即 1 | A 1 |, 2 | A 2 |, , n | A n |为方程组(1)的解． D x D x D x    