第二章第二部分 微分中值定理 与导数的五用 罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 研究函数性质及曲线性态 应用 利用导数解决实际问题
第二章 第二部分 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 微分中值定理 与导数的应用
第二章 §6中值定理 一、罗尔(Role)定理 二、拉格朗日中值定理 HIGH EDUCATION PRESS 机动 目录 上 下项返回 结束
一、罗尔( Rolle )定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 §6 中值定理 第二章
一、罗尔(Role)定理 费马(fermat)引理 y=f(x)在U(x)有定义， =>f'(x0)=0 且f(x)≤f(x),f'(xo)存在 (或≥) 证：设xo+△x∈U(xo),f(xo+△x)≤f(xo), 则f'(xo)=lim f(xo+△x)-f(x)》 △x-→0 △x [f'(xo)≥0（△x→0） >f'(x)=0 f(x)≤0（△x→0+） 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 费马 上 返回 结束
费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 ( ) , 在 x0 有定义 且 ( ) 0 f (x) f (x0 ), f x 存在 (或) ( ) 0 f x0 证: 设 ( ), ( ) ( ), 0 0 0 0 x x x f x x f x 则 ( ) 0 f x x f x x f x x ( ) ( ) lim 0 0 0 ( 0 ) f (x0 ) x ( 0 ) f (x0 ) x 0 0 ( ) 0 f x0 x y o 0 x y f (x) 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
罗尔(Rolle)定理 y=f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 h (3)f(a)=f(b) >在(a,b)内至少存在一点5，使f'(5)=0 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m 若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b], 因此V5∈(a,b),f'(5)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页 下贞返回 结束
罗尔（ Rolle ）定理 y f (x) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) , 使 f ( ) 0. x y o a b y f (x) 证:因f (x)在[a , b]上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 f (x) M , x[a , b], 因此 (a , b), f ( ) 0 . 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等， 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5e(a,b),使 f()=M,则由费马引理得f'(5)=0, 注意： 1)定理条件不全具备，结论不一定成立 例如， x, 0≤x<1 10,x=1 f(x)=x f(x)=x x∈[-1,1] x∈[0,1] HIGH EDUCATION PRESS 机动 上贞 返回 结束
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a,b), 使 f ( ) M , f ( ) 0. 注意: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 0, 1 , 0 1 ( ) x x x f x 1 x y o 则由费马引理得 [ 1,1] ( ) x f x x [0,1] ( ) x f x x 1 x y 1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束