第二章 §9画数的极值与 最大值最小小值 函数的极值及其求法 二 最大值与最小值问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §9 函数的极值与 最大值最小值 第二章
函数的极值及其求法 定义：设函数f(x)在(a,b)内有定义，x∈(a,b) 若存在x的一个邻域，在其中当x≠x时， (1)f(x)<f(xo),则称xo为f(x)的极大点 称f(xo)为函数的极大值； (2)f(x)>f(x),则称x为f(x)的极小点 称f(xo)为函数的极小值 极大点与极小点统称为极值点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解这函数的定义域为(-∞，+∞)，求这函数的导数： f(x)=6.x2-18x+12=6(x-1)x-2) 解方程'x)=0,得它在函数的定义域为(-∞，+∞) 内的两个根x=1,x2=2这两个根把（-∞，+∞)分成三部分 区间(-∞，1]、[1,2]及[2，+∞ x -0,1 (1,2) 2 (2,+∞) f'(x) f(x) 故f(x)的单调增区间为(-o,1),(2,+∞) f(x)的单调减区间为(1,2) HIGH EDUCATION PRESS
例如 确定函数 ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 的单调区间. 解 这函数的定义域为(-∞，+∞),求这函数的导数： ' 2 f x x x ( ) 6 18 12 = − + =6(x-1)(x-2). 解方程f ′(x)=0，得它在函数的定义域为（-∞，+∞） 内的两个根x1=1,x2=2.这两个根把（-∞，+∞）分成三部分 区间（-∞，1]、[1，2]及[2，+∞）. x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为(1, 2). 1 2 o x y 1 2
f(x)=2x3-9x2+12x-3 2 x=1为极大点，f(1)=2是极大值 x=2为极小点，f(2)=1是极小值 注意： 1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数，极值可能出现在导数为0或 不存在的点 x1,x4为极大点 x2,x5为极小点 x3不是极值点 oax x2 X3 xA x5 b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 a x x o b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 为极大点 , 是极大值 为极小点 , 是极小值 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1（极值第一判别法） 设函数f(x)在x,的某邻域内连续，且在空心邻域 内有导数，当x由小到大通过x时， (1)'(x)“左正右负”，则f(x)在x取极大值 (2)f'(x)“左负右正”，则f(x)在x取极小值； (自证) 点击图中任意处动画播放暂停 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理 1 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 (自证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放\暂停