第二章 §8画数的单调性与 曲线的凹马性 函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 §8 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第二章
函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若f'(x)>0 (f'(x)<O),则f(x)在I内单调递增（递减） 证：无妨设f'(x)>0,x∈I,任取，x2∈I(1<x2) 由拉格朗日中值定理得 f(x2)-()=f'(5)(x2-)>0 5∈(x1,x2)CI 故f(x)<f(x2).这说明f(x)在I内单调递增 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
例1.确定函数f(x)=2x-9x2+12x-3的单调区间 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 (-0,1)1 (1,2) (2,+∞) 2 f'(x) f(x) 故f(x)的单调增区间为(-0,1)，(2，+∞) f(x)的单调减区间为(1,2) 2 x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明： 1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点 例如，y=x2,xe(-0,+o) yy=Vx2 y 2 3x yx0=0 2)如果函数在某驻点两边导数同号 则不改变函数的单调性 例如，y=x3,x∈(-0，+∞) y'=3x2 yx-0=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.证明0<x≤乃！ 时，成立不等式 2 2 X 证：令f(x)= sinx 2 Xπ 则(0在(0，上连续，在(0孕上可导，且 证 f'(x)= x·c0Sx-S1nx COSX x2 (x-tanx)<0 因此3在0，受内单调递减。 tan x 又/)在号处左连续.因此()2≥/（乃= 2 sinx、 从而 ≥ x π HIGH EDUCATION PRESS 证明目录上页下页返回结束
例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 证 证明 目录 上页 下页 返回 结束