第二章 §7洛必达法则 型未定式 二、 型未定式 o0 三、其他未定式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §7 洛必达法则 第二章
函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究： 函数之商的极限im 8(x) 00 转化 洛必达法则 导数之商的极限im ∫'(x) g'(x) 将达.6.-于，4dc HIGH EDUCATION PRESS 洛必达目录上页下页返回结束
微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束
型未定式 定理1. 1)lim f(x)=lim F(x)=0 x→a x→a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)1im f'(x) 存在（或为0） xa F"(x) lim f(x) lim '(x) (洛必达法则 x->a F(x) x->a F'(x) 该定理的证明用到了柯西中值定理，这里不予证明 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导, 定理 1. 型未定式 0 0 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 该定理的证明用到了柯西中值定理，这里不予证明
洛必达法则 lim f(x) lim (x) x->aF(x) x→a F'(x) 推论1.定理1中x→a换为 x→a，x→a，x>00,x→+0，x→-0 之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立 推论2.若1im '(x) 仍属0 F'(x) 型，且∫'(x),F'(x)满足定 理1条件，则 f()=lim)=lim f"(x) F(x) F'(x) F"(x) HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
推论1. 定理 1 中 x →a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
x3-3x+2 例1.求m 0- 型 1x3-x2-x+1 0 解：原式=lm 3x2-3 x->1 3x2-2x-1 3 lim 6x x16x-2-2 注意：不是未定式不能用洛必达法则！ 6x lim 丰 =1 lim x-16x-2 x→>16 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求 解: 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 = x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束