第七章 参数估计 第一节参数的点估计 一、点估计问题 设总体X的分布函数的形式为已知的F(x,0),其中x是自变量，0为未 知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）·借助于总体X的一个样本 (X1,X2…Xn),来估计未知参数的值的问题，称为参数的点估计问题. 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量6=(X,X2,Xn),用样 本的一组观察值（x1,x2,xn），得到6的观察值0=0(x1,x2,,xn,以此 来估计未知参数0.称统计量0=6X1,X2.…,Xn)为的估计量，称 0=0(x1,2,xn)为0的估计值
第七章 参数估计 第一节 参数的点估计 一、点估计问题 设总体 X 的分布函数的形式为已知的F ( x,θ ) ，其中 x 是自变量,θ为未 知参数（它可以是一个数，也可以是一个向量）．借助于总体 X 的一个样本 （X 1,X 2,…, X n），来估计未知参数θ的值的问题，称为参数的点估计问题． 点估计的问题就是要构造一个适当的统计量 ( X1 , X2 , …,Xn )，用样 本的一组观察值（ x1 , x2 , …,xn ），得到 的观察值 （ x1 , x2 , …,xn ), 以此 来估计未知参数θ．称统计量 （ X 1, X 2,…,X n ）为θ的估计量，称 ˆ ˆ = ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ = ˆ ˆ = （ x1 , x2 , …,xn ）为θ的估计值．
二、矩估计法 设总体X的分布函数为F(x,0,02,…,0)， 其中0,02，…，0为k个未知参数.假设总体X的 各阶原点矩E(X)(I=1,2,,k)存在，则EX)是 01,02,…,0的函数，记作u斤以01,02，…，0即 41(81,02,…,0k)=E(X1=1,2,,k. 对于总体X的样本(X,X2,Xn)，样本的1阶原点矩为 4=2好1=12…k 令 4=A21=1,2,…,k
二、矩估计法 的函数，记作μl=μl ( ) 即 ，l=1,2,…，k． 设总体 X 的分布函数为 , 其中 为 k 个未知参数. 假设总体 X 的 各阶原点矩 存在, 则E (X l )是 ( , , , , ) 1 2 k F x k , , , 1 2 E(X ) (l 1,2, ,k) l = k , , , 1 2 ( , , , ) ( ) 1 2 l l k = E X k , , , 1 2 对于总体 X 的样本（ X1 , X2 , …,Xn），样本的 l 阶原点矩为 ，l = 1, 2, …，k． = = n i l l Xi n A 1 1 令 μl = Al , l=1,2,…，k
即 4(88,…,8)=2X n i= 4,00,,0)=2x n i= 40,0,…,0)=1x 从上述方程组中解出0,02，…，0：，分别记作 1=0L(X1,X2,…,Xn月 62=02(X1,X2,…,Xn) 0=0(X1,X2,…,Xn) 以此作为未知参数日，02，…，0的估计量，称为矩估计量
= = = = = = n i k k k i n i k i n i k i X n X n X n 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 ( , , , ) , 1 ( , , , ) , 1 ( , , , ) 即 从上述方程组中解出 1 , 2 , , k ，分别记作 ( , , , ). ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k n n n X X X X X X X X X = = = 以此作为未知参数 1 , 2 , , k 的估计量，称为矩估计量．
如果样本观察值为(x1,x2,n)，则 得未知参数0,02，…，0的矩估计值为 01=01(x1,x2,…,xn) 82=02x1,x2,…,xm) 04=0(x1,x2,…,xn) 上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法. 例1设总体X服从参数为几的泊松分布，其中几>0为未知，又设X, X,,X,为X的样本，求1的矩估计量. 解X~π(2)，E(X=九，即4=E(X=九， 令4=A,即 =2X,= ni=l 得孔的矩估计量为元=灭
如果样本观察值为（ x1 , x2 , …,xn ），则 得未知参数 的矩估计值为 上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法． k , , , 1 2 ( , , , ). ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 k k n n n x x x x x x x x x = = = 例1 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其中 >0 为未知，又设X1 , X2 , …,Xn为 X 的样本，求 的矩估计量． 解 令 ，即 得 的矩估计量为 ． ~ ( ), ( ) , ( ) , X E X = 即1 = E X = 1 = A1 , 1 1 X X n n i = i = = ˆ = X
例2设总体X服从参数为2的指数分布，其 概率密度为 e x>0, 0，x≤0 其中九>0为未知，又设X,X2,,Xn为X的 样本，求入的矩估计量. 解由F4=0)克令 41=4 即 日三=风 因此将到2的斑估计损为月=是
例2 设总体 X 服从参数为 的指数分布，其 概率密度为 其中 为未知，又设 为 X 的 样本，求 的矩估计量． = − 0 , 0, e , 0, ( ) x x f x x 0 X X Xn , , , 1 2 解 由于 ， 即 因此得到 的矩估计量为 ． , 令 1 ( ) 1 = E X = 1 = A1 = = = n i Xi X n 1 , 1 1 X 1 ˆ =