西安毛子科技大学三XIDIANUNIVERSITY解：A的特征多项式为0x-1-100=(x-1)3f(x)=| xE - A}=x-100x-1又A-E±0,(A-E)? = A?-2A+E(19-6396.9)00100：A的最小多项式为(x-1)
解：A的特征多项式为 3 1 1 0 ( ) | | 0 1 0 ( 1) 0 0 1 x f x xE A x x x − − = − = − = − − 又 A E− 0, 2 2 ( ) 2 A E A A E − = − + 1 2 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 1 = − + = ∴ A的最小多项式为 2 ( 1) . x − 1 1 0 0 1 0 0 0 1 A =
西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSIT相似矩阵具有相同的最小多项式4.证：设矩阵A与B相似，g(x),g(x分别为它们的最小多项式。由A相似于B，存在可逆矩阵T，使B=T-1AT从而 gA(B)= gA(T-AT)=T-ig(A)T =0g(x)|ga(x).:ga(x)也以B为根，，从而ga(x)|gb(x).同理可得又gA(x),gB(x)都是首1多项式， ： gA(x)=g(x)
4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似， g x g x A B ( ), ( ) 分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 1 B T AT. − = 从而 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 A A A g B g T AT T g A T − − = = = ( ) A g x 也以B为根， 同理可得 ( ) ( ). A B g x g x ( ) ( ). B A 从而 g x g x 又 g x g x A B ( ), ( )都是首1多项式， ( ) ( ). A B = g x g x