一元函数微积分疑难问题选讲例2讨论函数f(x)=x- sinx的单调性，fdx)=1- cosx 3 0解但使fdx)=1-cosx=0的点X = 2kp (k = 0,±1,±2,K)都是孤立点，而且在任意有限区间(a,b)内只有有限个因此函数在整个定义区间（-￥，+￥）上严格单调增
一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 例2 解 都是孤立点，而且在任意有限区间(a,b)内只有有限个. 因此函数在整个定义区间 上严格单调增
一元函数微积分疑难问题选讲(2)用导函数在一点的正负能判定该点邻域内函数的单调性吗？什么情况下可以呢？若导函数在该点连续则能判定。答：不能。20,sinx + 2xx1例3函数f(x)=x1 0,x = 0.f(0)=1> 0,1当x1 0时,f(x)=1+(4xsin2cosx在x=0的任何邻域内，f（x)的取值有正有负从而f(x)在x=0的任何邻域内都不是单调的。17/B8
一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 （2） 用导函数在一点的正负能判定该点邻域 内函数的单调性吗？ 答：不能。 例3 函数 若导函数在该点连续,则能判定。 什么情况下可以呢？ 17/88
一元函数微积分疑难问题选讲(3)函数在极值点的左右邻域内一定单调吗？解答：不一定。t 2 - x?(2 + sin -),x 10例如函数 f(x)=ix1 2,x = 0.在x=0处取得极大值f(0)=2.但由于1t - 2x(2 + sin =) + cos =0xf(x)=ixX0,x = 0.1在x=0的任何充分小的邻域内，无限次的改变正负号因此f(x)在x=0的任何左半邻域非单调增，而在x=0的任何右半邻域非单调减
一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 （3） 函数在极值点的左右邻域内一定单调吗？ 解答：不一定。 例如函数
一元函数微积分疑难问题选讲1.99991.999912sin,x1 0Y1.9998f(x)=ixi2x=0,1.9998f在x0处取得极大值，但在x口0的任意左半邻域不单调增；1.9997在x口0的任意右半邻域不单调减；1.999700.01-0.01-0.0050.005
一元函数微积分疑难问题选讲
一元函数微积分疑难问题选讲问题6.有关左右导数的两个问题(1）如果f(x)在x,处的左右导数都存在，那么f(x)在x.处连续吗？反之如何?答：若在x.处的左右导数都存在，则f在x.处连续左连续左导数存在连续右导数存在右连续xsin反之不一定成立。例如f(x)=ix0.x= 0.在x=0处连续，但左右导数都不存在
一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 问题6. 有关左右导数的两个问题 答： 左导数存在 左连续 右导数存在 右连续 连续 反之不一定成立