一元函数微积分疑难问题选讲x为无理数ix?,f(x) =0,x为有理数证由导数的定义得f(Dx)f(0 + Dx) - f(O)fd0) = limlimDxDxDx?0Dx? 0(Dx)f(Dx)f(Dx)故f dO) = lim0 f0DxDx? 0DxDx又因为在任何x10处，函数不连续，所以也不可导此例还表明：函数在x.处可导，不仅不能推出在x.某邻域可导。也不能推出在x.充分小邻域内连续显示出函数在一点的导数仅仅反映函数在该点处的性质
一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 证 由导数的定义得 函数不连续，所以也不可导. 显示出函数在一点的导数仅仅反映函数在该点处的性质. 此例还表明：
一元函数微积分疑难问题选讲根据上述结论，在用导数的定义求极限时，应当特别注意题中的已知条件切不可将仅在一点可导的条件扩大到在该点的邻域内也可导，否则就会出错例1f[x (a b)h] f(x)原式口lim(a b) f'(x)hh02(a b)lim f'(x bh)(a b)f'(xo)h0试问这个解法对吗？为什么？
一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 试问这个解法对吗？为什么？ 例1 根据上述结论，在用导数的定义求极限时，应当特别注意题中的已知条件， 切不可将仅在一点可导的条件扩大到在该点的邻域内也可导，否则就会出错
一元函数微积分疑难问题选讲(2)函数在某点可导能保证其导函数在该点连续吗？答不能。我们常说，可导一定连续，有的学生误认为：若函数在某点可导，则导函数在该点连续.这是不对的。即使函数在x的某邻域内可导，其导函数在x.处也不一定连续0.x1sinf(x)=i例如x10,x=0.在x=0的邻域内可导，但是f(x)在x=0处不连续fd0)= 0 (x? 0)x1 0时, fe=2xsinRcOSxx
一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 （2）函数在某点可导能保证其导函数在该点连 续吗？ 答 不能。 我们常说，可导一定连续，有的学生误认 为：若函数在某点可导，则导函数在该点连续.这是 不对的。 例如
一元函数微积分疑难问题选讲问题5.有关函数单调性的几个问题(1)关于函数严格单调性的判定定理在上连续，在内可导，则设函数 f(x)(减)1)f(x)在I上单增二在内f0(f0);(减），2)若在I内f0(FO),则在I上严格单调增
一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 问题5. 有关函数单调性的几个问题 （1）关于函数严格单调性的判定 定理 设函数 在 I 上连续，在I内可导, 则 1) 在 I 上单增（减） 2) 若在 I 内 严格单调增（减）．
一元函数微积分疑难问题选讲3)的证明设x,y为区间(a,b)内任意两点：一按假定在x,y内只有有限个点x,x2x,为f)的零点,其余点处fx)>0故在区间[x,x,],[x,x2],,[xn,J]上，f(x)严格单增。从而f(x)< f(x)<f(x)<... <f(x)< f(y)f(x) f(y)所以f(x)在(a,b)内严格单调增由证明过程可知，区间a,b)可推广到(，)有限个点x，，x,可推广为无穷个离散点
一元函数微积分疑难问题选讲 2023/8/27 从而 3) 的证明