第四章随机变量的数字特征 1,随机变量数学期望的定义二 例1：设ξ的密度函数 离散型E∑xP, ER3r∑gx)P, 网俗是引写 f= [解I:1epxc=32: 连铁型E时二本3一KK点 2.二维随机变量X,Y)的数学期望： 例2设M,也随机变量：的辆个任意取值，证明 离数留N一2R.-三P, %.2 数 m。R客含R 博眼.空eo方 期 =2E*e+早E+E 连铁型y D+E卧E+o Ydyyxydy 3.二维随机变量X的函数Y=gX)的数学期望 g 例3设机变量的概密度为6（灯文4 日g(.Y)yxydd 4.数学期望的性质 奇函数，对称区何上的积分) E(c-c. E( 若E与n相互独立，则E(En=E正En EXxx(x)dx-eM dx= 1随机变量方差的定义 D(X)=EX-E(X)=EX2-(EX) a0e*= DX-EX) (偶函数，对称区间上的积分) 所以DX=EX2-(EX2=2.口 差2，方差性质： D(e)-0 D( D(at+bFa'Dg 例4简X的物方若阵为c-[色】求x与Y DE±n=DE+Dp2covG,n) 的相关系数pm 若E与n相互独立，则DE±n=DE+Dn 「解：由协方差矩阵得到： 1.与n的协方差cov(,n=E-Em-En(或为n D(X)=cOv(X.X=4. 2,协方差的性质 D(Y)-cov(Y.Y)-9.Cov(X.Y-3 C0w(5)=D cov(X.Y) PXY 协cow(E.n=cow(n.l cov(E.c)=0 cov(abn)=ab cov(En) cov() s.n)tcov() 3.协方差矩阵： 设n维随机变量X,X2.X,记c一cov(X,X,则称阶矩阵 Ccm为X,XX的协方差矩阵
第四章 随机变量的数字特征 数 学 期 望 1. 随机变量数学期望的定义— 离散型 E()= i=1 i pi x E(g())= =1 ( ) i i pi g x 连续型 E()= -∞ +∞ xp(x)dx E(g())= -∞ +∞ g(x)p(x)dx 2. 二维随机变量(X,Y)的数学期望： 离散型 E(X)== = • i 1 i pi x = i=1 i=1 i pij x E(Y)= = = • j 1 j j x p = i=1 i=1 j pij y 连续型 E(X)= -∞ +∞ xfX(x)dx= -∞ +∞ -∞ +∞ xf(x,y)dxdy E(Y)= -∞ +∞ yfY(y)dy= -∞ +∞ -∞ +∞ yf(x,y)dxdy 3. 二维随机变量 X 的函数 Y=g(X)的数学期望： E[g(X,Y)]= i=1 =1 ( , ) i i j pij g x y E[g(X,Y)]= -∞ +∞ -∞ +∞ g(x,y)f(x,y)dxdy 4. 数学期望的性质 E(c)=c , E(a)=a , E()=EE 若 与 相互独立，则 E()=EE 例 1：设 的密度函数 p(x) = c/x2 x[1，3] 0 其它 求：E [解]∵1= -∞ +∞ p(x)dx ∴c=3/2; E= -∞ +∞ xp(x)dx= 1 3 x 3 2x2dx= 3 2 lnx= 3 2 ln3. 例 2设 x1，x2 是随机变量 的两个任意取值，证明： E[( - x1+x2 2 ) 2 ] D 。 [证]：E[( - x1+x2 2 ) 2 ]=E[ 2 -(x1+x2)+ ( x1+x2 2 ) 2 ] = E 2 -(E)(x1+x2)+ ( x1+x2 2 ) 2 - (E) 2+(E) 2 =D+(E) 2 - (E)(x1+x2)+ ( x1+x2 2 ) 2 =D +(E - x1+x2 2 ) 2 D . 例 3设随机变量的概率密度为 fX(x)= 1 2 e - |x| , -∞<x<+∞, 求D(X). [解]：E(X)= -∞ +∞ xfX(x)dx= 1 2 -∞ +∞ x e - |x|dx=0 (奇函数，对称区间上的积分) E(X2 )= -∞ +∞ x 2 fX(x)dx= 1 2 -∞ +∞ x 2 e - |x| dx = = 1 2 2 0 +∞ x 2 e - -x dx =(3)=2 (偶函数，对称区间上的积分) 所以 D(X)= EX2 – (EX)2=2. 例 4设(X,Y)的协方差矩阵为C=[ ] 4 -3 -3 9 ，求X 与Y 的相关系数XY 。 [解]：由协方差矩阵得到： D(X)=cov(X,X)=4, D(Y)=cov(Y,Y)=9, Cov(X,Y)= -3 XY= cov(X,Y) DX DY = -3 23 = - 1 2 方 差 1.随机变量方差的定义⎯⎯- D(X)=E[X-E(X)]2 = EX2 – (EX)2 D(X)= -∞ +∞ [x-E(X)]2 f(x)dx 2.方差性质： D(c)=0 , D(a)=a2 , D(a+b)=a2D , D()=D+D2cov(,) 若 与 相互独立，则 D()=D+D 协 方 差 1. 与 的协方差 cov(,)=E[(-E)(-E)] (或为 ) 2.协方差的性质： cov(,)= D cov(,)=cov(,), cov(,c)=0 cov(a,b)=ab cov(,) , cov(,)=cov(,)cov(,) 3.协方差矩阵： 设 n 维随机变量 X1,X2,.,Xn, 记 cij=cov(Xi,Xj)，则称阶矩阵 C=(cij)nn为 X1,X2,.,Xn的协方差矩阵
例5设X与Y相互独立且都服从N(O,g,若 =aX+bY.n-aX-bY.证明：与n的相关系数 相关系数pP反映了随机变量：与之间的线性相关的程度 注查p:k1. 当p=0,则称E与n不相关： [团：aMEnFov(aX+6 bYaX-bY) 衣 当p上1，则称ξ与n完全相关 -om(XX)-bow(YY)=aDX-bDY 几个结论：p=0台c0v(G,n0 d-好，因的 系数 台EnEE D-DX+bYDX+DY-+ 台DE+n=DE+Dn DrDXX-BYDDY 台D5n=D+Dn 注意随机变量ξ与n相互独立，则：与n不相关： 器器 反之：与n不相关，不能推出：与n相互独立。 k阶原点矩：E0Xk=1,2 k+s阶混合原点矩：E0XY的ks=l2, k阶中心矩：X-EX为k=2·k+s阶混合阶中心矩：X-EX汽EEY门ks=2 协方差矩阵：C-chx其中cEl(X-EXX X-EX] 分布 分布列和展率密度 数学期 方差 分布(0,1) P=0}=p,P{8=I-1-p p p(1-p) 二项分布Bnp) b(k:np)-P-kj=Cnp/(1-py(k-0.1.2.3.n) p p1-p) 泊松分布P) P5-k=c2k-0,12,>0 均匀分布Uab 骋 g 几何分布XGcp) 分布列为PX==(1-ppk=0,123) p e 超几何分布 X-h(n.N.M) PIX-K1 CMCNM k-0.1.2.3.min(M.n) 兴 DMON-MMON-p c哈 N'(N-1) 指数分布cxp) { 正态分布N,g 器 ←o<<+e) 二维正态分布 T20pa.2a四 010 D-o Nμ1，a22,o22p) En-e Dn-o:
相 关 系 数 与 的相关系数 的定义 = cov(,) D D 相关系数 反映了随机变量 与 之间的线性相关的程度。 注意||1。 当 =0，则称 与 不相关； 当||=1，则称 与 完全相关 几个结论： =0 cov(,)=0 E()=EE D(+)=D+D D(-)=D+D 注意随机变量 与 相互独立，则 与 不相关； 反之 与 不相关，不能推出 与 相互独立。 例 5 设 X 与 Y 相互独立且都服从 N(0, 2 )，若 =aX+bY, =aX-bY, 证明： 与 的相关系数， = a 2 -b 2 a 2+b2 。 [证]：cov(,)=cov(aX+bY,aX-bY) =a2 cov(X,X) –b 2 cov(Y,Y) = a2DX – b 2DY =(a2 –b 2 ) 2 。 又因为 D=D(aX+bY)=a2DX+b2DY=(a2 + b2 ) 2 D=D(aX - bY)=a2DX+b2DY=(a2 + b2 ) 2 所以：= cov(,) D D = (a 2 -b 2 ) 2 (a 2+b2 ) 2 = a 2 -b 2 a 2+b2 其 他 k 阶原点矩：E(Xk ) k=1,2,.。 k+s 阶混合原点矩：E(XkY s ) k,s =1,2,. k 阶中心矩：E[(X-EX)k ] k=1,2,.。 k+s 阶混合阶中心矩：E[(X-EX)k (E-EY)s ] k,s=1,2,. 协方差矩阵：C=(cij)nx 其中 cij=E[(Xi-EXi)( Xj-EXj))] 分布 分布列和概率密度 数学期望 方差 分布(0,1) P{=0}=p, P{=1}=1-p p p(1-p) 二项分布 B(n,p) b(k；n,p)= P{=k}= Cn k p k (1-p)n-k (k=0,1,2,3,.,n) np np(1-p) 泊松分布 P() P{=k}= k k! e - k=0,1,2., >0 均匀分布 U[a,b] p(x)= 1 b-a axb 0 其他 a+b 2 (b-a) 2 12 几何分布 X~Ge(p) 分布列为 P{X=k}= (1-p)k-1 p (k=0,1,2,3,.) 1 p 1-p p 2 超几何分布 X~ h(n,N,M) P{X=k}= CM k CN-M n-k CN n k=0,1,2,3,., min{M,n} nM N nM(N-M)(N-n) N 2 (N-1) 指数分布 exp() p(x)={ e -x x0 0 x<0 1 1 2 正态分布 N(, 2 ) p(x)= 1 2 e - (x-) 2 2 2 (-∞<x<+∞) 2 二维正态分布 N(1,1 2 ,2,2 2 ,) p(x,y)= 1 212 1- 2 exp{- 1 2(1- 2 ) [ (x-1) 2 1 2 - 2(x-1)(y-2) 12 + (y-2) 2 2 2 ]} E=1 E=2 D=1 2 D=2 2
第五章大数定裤及中心板限定理 切比雪夫不等式：P，s，P限e21. 例1：设随机变量5,5,3，独立同分布，且5服从参数为入的指数分布，=12,3，试根据切比雪夫不等式证明： 比 P0<E1+5+5<6}≥23. 【证]：5cxpE=1n:令X=t52+53,则EX=EEt52+5=3n.,DX=D51+52长F3n2pf0<51+52+56n.} Pf0<X<6n.=P-3n.<X-3n.<3n}=PK-3n.K3n} 等 式 例2：已知随机变量X的期望EX)=100,方差DX=10,估计X落在(80,120)内的概率. M:P40X<120y=P20X10c20=P4 x-F020121.2器-1.品-075.口 切比雪夫大数定理：设随机变量X,XX相互独立，分别具有数学期望与方差，且方差一致有上界，则对任意给 定正数，恒有P之X,∑E(X)1<e= 伯务利大数定理：设是在次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对 数定律 任意给定正致，恒有P水1（伐P片时=0 辛软大数定理：设随机变量X1X,.,X相互独立，服从同一分布，且具有数学期望EX刊，则对任意给定正数E, 恒有P之X,-川@1 棣其弗(Demoiver-)拉普拉新(Laplace)定理：设随机变量Ya=1,23)服从参数为n,p的二项分布，即YrB(p). 这一定理说明，服从二项分布Bp的随机变量Y。作标准化后的随机变量岩 四的极限分布是标准正态分布N(O.) 中 中心极展定理林贝格勒维设随机变量XX.X。.相互独立，服从同一分布，且具有数学期望EX,和 差DX-00,随机变量Y一立XWa的分布福数为F4,则对任意实数x,恒有F 这一定理说明立X,的标准化随机变量YX,mW的极限分布是标准正态分布N
第五章 大数定律及中心极限定理 切 比 雪 夫 不 等 式 切比雪夫不等式：P{|-E|} D 2 , P{|-E|<} 1 - D 2 例 1：设随机变量 1, 2, 3，独立同分布，且 i服从参数为 的指数分布，i=1,2,3，试根据切比雪夫不等式证明： P{0<1+2+3<6/}≥2/3 . [ 证 ] ： i~exp(), EI=1/; 令 X=1+2+3 ,则 EX=E(1+2+3)=3/， DX=D(1+2+3)=3/ 2 .P{0<1+2+3<6/}= P{0<X<6/}= P{-3/<X-3/<3/}= P{|X-3/|<3/} 1 - DX 2 = 1- 3/ 2 (3/) 2 = 1- 3 9 = 2 3 例 2：已知随机变量 X 的期望 E(X)=100，方差 D(X)=10，估计 X 落在(80,120)内的概率。 [解]：P{80<X<120}= P{-20<X-100<20}= P{|X-E(X)|<20} 1 - DX 202 = 1 - 10 400 = 0.975. 大 数 定 律 切比雪夫大数定理：设随机变量 X1,X2,.,Xn 相互独立，分别具有数学期望与方差，且方差一致有上界，则对任意给 定正数 ，恒有 lim n→ P{| 1 n= n i Xi 1 – 1 n ( ) 1 = n i E Xi | <}= 1。 伯努利大数定理：设 nA 是在 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对 任意给定正数 ，恒有 lim n→ P{| nA n - p|<}= 1 (或 lim n→ P{| n n - p| }= 0) 辛钦大数定理：设随机变量 X1,X2,.,Xn,.相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 EXk=，则对任意给定正数 ， 恒有 lim n→ P{| 1 n= n i Xi 1 – | <}= 1 中 心 极 限 定 理 棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：设随机变量 Yn (n=1,2,3,.)服从参数为 n, p 的二项分布，即 Yn~B(n,p)， 则对任意实数 x，恒有 lim n→ P{ Yn-np npq x}= (x) = -∞ x 1 2 e - t 2 2 dt → a b 1 2 e - t 2 2 dt 这一定理说明，服从二项分布 B(n,p)的随机变量 Yn作标准化后的随机变量Yn-np npq 的极限分布是标准正态分布 N(0,1)。 中心极限定理(林德贝格-勒维)：设随机变量 X1,X2,.,Xn,.相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 EXk=，和方 差 D(Xk)= 2 0，随机变量 Yn=( = n i Xi 1 -n)/ n 的分布函数为 Fn(x)，则对任意实数 x，恒有 lim n→Fn(x)= lim n→ P{Ynx}= (x) = -∞ x 1 2 e - t 2 2 dt 这一定理说明， = n i Xi 1 的标准化随机变量 Yn=( = n i Xi 1 -n)/ n 的极限分布是标准正态分布 N(0,1)
例1：某计算机系统由120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是 相互独立的，求至少由10个终端同时使用打印机的概率。 [解1：设X为同时使用打印机的终端的个数，则X-B120p,这里p=360=0.05,Xnp120x005= 利用中心极限定理上式近似等 =-16754=1.09621=00379即至少由10个终端同时使用打印机的概率为00379口 例2：在抛硬币的试验中，至少抛多少次，才能使正面出现的频率落在(04.0.6)区间的概率不小于0.9？ 解1：设共进行次试验，X为出现正面的次数，则XBN.p,这里p=12=0.5EXp-0.5N,D0X9pO.25N 所求的为P04XN<0.6≥0.9。将X标准化P0.4XN0.6=P0.4N<X0.6N=Pr45 Y06N-E VDX VDXVDX e0a晨aaa-129 0.2N2095.查表1645)-0.95，则022L645→765 ,即至少抛68次才能满足要求 的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等 PIX+YB61S_ [解：EX+Y=EX+EY=-2+2=0, D(X+Y)-DX+DY+2c0v(X.Y)=1+4+2pVDXVDY=1+4+2(-0.5)xlx2=3, 例生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大 重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每柄车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.97 ((20.977,其中x)是标准正态分布函数) 解：设X为第i箱重量（千克），1,2.n,则EX=EX=50,DX=50。 令Z=∑X,则EZ-=50nD2-=25n要求P2500020.97, 理 的 利用中心极限定理PZ30m=P侵0e097 因为2r09m.所0050%2÷25m2.301n+23500es0 一心98.每辆车最多可以装98箱，才能保障不超载的概率大于0.977 例：设随机变量X,X.X相互独立，S=X+X+.以，则根据列锥-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S 近似服从正态分布，只要XX2X。 A、有相同的数学期望 B、有相同的方若 C、服从同一指数分相 D、服从同一离散型分有 解根据列维林德伯格中心极限定理的条件，XX.X必须独立同分布，所以不能选A,B。又必须具有有限 数学期望和方差，故D不一定能保证此条件，应选C。口 创私设总体X服从参数为05的指数分布，XXX为来自总体X的简单随机样本，则当一四时，Y,∑ 【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期与方差的随机变量XXX 当方差一致有界时，其算术平均值依概米收敛于其数学期望的算术平均值：【解】 这里XXX,满足大 定#的条，且BX-DXB户产1，因此根据大数定有Y一∑X瓶率收于E(X)-
中 心 极 限 定 理 的 用 例 1：某计算机系统由 120 个终端，每个终端在 1 小时内平均有 3 分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是 相互独立的，求至少由 10 个终端同时使用打印机的概率。 [ 解] ： 设 X 为同时使用打印机的终端的个数，则 X~B(120,p) ，这里 p=3/60=0.05 。 E(X)=np=1200.05=6, D(X)=npq=60.95=5.7 。则 P{X10}=1 – P{X<10}=1 – P{X<10}=1 – P{ X-6 5.7 < 10-6 5.7 } 利用中心极限定理上式近似等于 =1-(1.6754)=1- 0.9621=0.0379. 即至少由 10 个终端同时使用打印机的概率为 0.0379 例 2：在抛硬币的试验中，至少抛多少次, 才能使正面出现的频率落在(0.4, 0.6)区间的概率不小于 0.9？ [解]：设共进行次试验，X 为出现正面的次数，则 X~B(N,p)，这里 p=1/2=0.5。E(X)=np=0.5N, D(X)=npq=0.25N 。 所求的为 P{0.4<X/N<0.6}0.9。 将 X 标准化 P{0.4<X/N<0.6}= P{0.4N<X<0.6N} = P{ 0.4N-EX DX < X-EX DX < 0.6N-EX DX }= P{-0.2 N< X-EX DX <0.2 N}2(0.2 N) – 1 0.9 (0.2 N)0.95, 查表 (1.645)=0.95，则 0.2 N1.645 N 67.65， 即至少抛 68 次才能满足要求。 例 3：设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式 P{|X+Y|6} . [解]: E(X+Y)=EX+EY= -2+2=0, D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=1+4+2 DX DY = !+4+2(-0.5)12= 3, 则根据切比雪夫不等式 P{|X+Y|6}= P{|X+Y - E(X+Y)|6} D(X+Y) 6 2 = 3 16 = 1 12 例 4：生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克。若用最大载 重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977 （(2)=0.977，其中 (x)是标准正态分布函数） [解]: 设 Xi为第 i 箱重量(千克)，i=1,2,.,n。则 EXi=EX=50，DXi=50。 令 Z= i=1 n Xi, 则 EZ=50n, DZ=25n. 要求 P{Z5000}0.977, 利用中心极限定理 P{Z5000}= P{ Z-EZ DZ 5000-50n 5 n }=( 5000-50n 5 n )0.977 因为 (2)= 0.977，所以5000-50n 5 n 2 25n2 -5001n+2500000 n98. 每辆车最多可以装 98 箱，才能保障不超载的概率大于 0.977. 例 4：设随机变量 X1,X2,.,Xn相互独立，Sn=X1+X2+.+Xn, 则根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，Sn 近似服从正态分布，只要 X1,X2,.,Xn A、有相同的数学期望 B、有相同的方差 C、服从同一指数分布 D、服从同一离散型分布 [解]: 根据列维-林德伯格中心极限定理的条件，X1,X2,.,Xn必须独立同分布，所以不能选 A, B。又必须具有有限的 数学期望和方差，故 D 不一定能保证此条件，应选 C。 例 4：设总体 X 服从参数为 0.5 的指数分布，X1,X2,.,Xn为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n→∞时，Yn= 1 n= n i Xi 1 2 依概率收敛于 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 X1,X2,.,Xn， 当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【解】 这里 X1 2 ,X2 2 ,.,Xn 2，满足大数 定律的条件，且 EXi 2=DXi+(EXi) 2=1/4+(1/2)2= 1/2，因此根据大数定律有 Yn= 1 n= n i Xi 1 依概率收敛于 1 n= n i E Xi 1 2 ( ) = 1 2 .