第十章 期权定价的数值法 在第十一章中,我们得到了期权价值所满足的偏徽分方程,并解出了特定条件下 的期权解析定价公式。但在很多情形中,无法得到期权价值的解析解,这时人们经常 采用数值方法( numerical procedures)为期权定价,主要包括二叉树方法( binomial tres)、蒙特卡罗模拟( Monte Carlo simulation)和有限差分方法( finite difference methods)。本章将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达, 本章中统一假设当前时刻为零时刻 第一节二叉树期权定价模型 叉树期权定价模型由考克斯(J.C.Cox)、罗斯(S.A.Ross)和鲁宾斯坦 (M. Rubinstein)于1979年首先提出,已经成为金融界最基本的期权定价方法之 ①,其优点在于比较简单、直观,不需要太多的数学知识就可应用。 、二叉树模型的基本方法 二叉树图方法用离散的模型模拟资产价格的连续运动,利用均值和方差匹配来 确定相关参数,然后从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。 (一)单步二叉树模型 为了由浅入深地介绍二叉树模型,先介绍单 步二叉树模型 假设一个无红利支付的股票,当前时刻t股票S 价格为S,基于该股票的某个期权的价值是f,期 权的有效期是T。在这个有效期内,股票价格或者 上升到Su,或者下降到Sd(u>1,d<1)。当股票 价格上升到Su时,假设期权的回报为f,如果股图12.1股票价格和期权价格 O Cox J C, Ross S A, Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach[J] Journal of Financial Eco- nomics,1979,10(7)
第十二章期权定价的数值方法 221 票的价格下降到Sd时,期权的回报为f4,如图12.1所示 在第十一章中已经探讨过,期权定价可以在风险中性世界中进行。同样,也可以 在二叉树模型中应用风险中性定价原理为期权定价。 在风险中性世界中,假定股票的上升概率为p,由于股票未来期望值按无风险利 率贴现的现值必须等于该股票目前的价格,因此该概率可通过下式求得 S=e[Sup+ Sd(1-p)] 即 知道了风险中性概率后,期权价格就可以通过下式来求 f=e[pf.+(1-p)f4] (二)证券价格的树形结构 在较大的时间间隔内,上述二值运动的假设当然不符合实际。但是当时间间 隔非常小的时候,比如在每个瞬间,资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接 受的。因此,二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的 资产价格运动。由统计学原理可知,当N趋于无穷大时,二项分布就趋近于正态 分布。因此当将一段时间分割成足够多的小时间间隔时,二项分布就逼近正态 分布。 应用多步二叉树模型来表示证券价格变化的完整树形结构,如图12.2所示。 图12.2资产价格的树型结构 当时间为0时,证券价格为S。时间为△时,证券价格要么上涨到Sa,要么下 降到Sd;时间为2△t时,证券价格就有三种可能:Snx2、Sad(等于S)和Sd2。以此类 推。一般而言,在t时刻,证券价格有计+1种可能,它们可用符号表示为 Sd-式中j=0,1,… 注意:由于u和d保持不变,许多节点是重合的,从而大大简化了树图
222金融工程 (三)参数的确定 在建立二叉树的过程中,最重要的是参数p和d的确定。那么,到底应该根 据什么标准来确定这些参数呢? 我们知道,衡量证券价格的树型结构好坏的标准是它能否逼近证券价格的真实 分布。因此,和d的确定必须与证券价格的漂移率(A)与波动率(a)相吻合。中 在风险中性世界中,若期初的证券价格为S,则在很短的时间间隔△t末的证券 价格期望值应为Se。因此,参数p、a和d的值首先必须满足这个要求,即 Sea=p+(1-p)Sd (12.1) 此外,根据第十一章的讨论,当股票价格遵循几何布朗运动时,在一个小时 间段△内股票价格变化的方差为S2△t。根据方差的定义,变量Q的方差等于 E(Q)-[E(Q)]2,因此 S°a2△=pS2a2+(1-p)S2a2-Sp+(1-p)d o2△t=pa2+(1-p)d2-[pa+(1-p)d]2 2.2) 式(121)和(122)给出了计算p、v和d的两个条件。第三个条件的设定则可 能各自不同,考克斯、罗斯和鲁宾斯坦所用的条件是 (12.3) 从以上三个条件求得,当△t很小 (12.4) (12.5) 也可以用二叉树模型来刻画现实世界中股票价格的变化过程,只要把公式 (12.4)中的r改为就可以了 (四)倒推定价法 得到每个节点的资产价格之后,就可以在二又树模型中采用倒推定价法,从树型 结构图的末端T时刻开始往回倒推,为期权定价。由于在到期T时刻的预期期权价 值是已知的,例如看涨期权价值为max(Sr-X,0),看跌期权价值为max(X-Sr,0), 因此在风险中性条件下在求解T-△t时刻的每一节点上的期权价值时,都可通过将 T时刻的期权价值的预期值在△t时间长度内以无风险利率贴现求出。同理,要求解 T-2△t时的每一节点的期权价值时,也可以将T-△t时的期权价值预期值在时间 △t内以无风险利率贴现求出。以此类推。采用这种倒推法,最终可以求出零时刻 当前时刻)的期权价值 以上是欧式期权的情况。如果是美式期权,在每个时点先用与欧式期权同样 ①这是二叉树模型中最常用的第三个条件,后文将会谈到对第三个条件的其他设定方法
第十二章期权定价的款值方法223 的贴现法根据下一个时点的期权价值算出本节点的期权价值,然后与在该时刻提 前执行期权可以得到的收益(如看涨期权为S-X)进行比较,取两者中的较大者 作为本节点的期权价值。案例12.1给出了一个用二叉树给美式看跌期权定价的 例子 【案例12.1】 美式看跌期权的二叉树定价 假设标的资产为不付红利殷票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%, 无风险连续复利年利率为10%,该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50 元,求该期权的价值 为了构造二叉树,把期权有效期分为五段,每段一个月(等于0.0833年)。 根据式(12.4)到(12.6),可以算出 4=e=1.1224 eva=0,8909 =0.5076 1-p=0.4924 据此,可以画出该股票在期权有效期内的树形图,如图12.3所示。在每个节 56.12 448 453.7045265 695 6.37 10.35 536 2807 213 能油 图12.3不付红利股票美式看跌期权二又树 吊去异道中两划,登出(产关)对便对
224 金融工程 点处有两个值,上面一个表示股票价格,下面一个表示期权价值。股价上涨概率 总是等于0.5076,下降概率总是等于0.4924 在i△t时刻,股票在第j个节点(j=0,1,…,的价格等于Svd“。例如,F 节点(i=4,=1)的股价等于50×1.1224×0.8909=39,69元。在最后那些节 点处,期权价值等于max(X-Sx,0)。例如,节点(=5,j=1)的期权价格等于 50-35.36=14.64元 从最后一列节点处的期权价值可以计算出倒数第二列节点的期权价值。首 先,假定在这些节点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是△时间 内期权价值期望值的现值。例如,E节点(i=4,j=2)处的期权未被执行时的期权 价值等于 (0.5076×0+0.4924×5.45)e13=2.66(元) 而F节点处期权未被执行时的期权价值等于 (0.5076×5.45+0.4924×14.64)e01×03=9,90(元) 然后,要检查提前执行期权是否较有利在E节点,提前执行将使权价值 为0,因为股票市价和协议价格都等于50,显然不应提前执行。因此,E节点的期 权价值应为2.66元。而在F节点,如果提前执行,期权价值等于50.00,39.69 元,为10.31元,大于上述的9.90元。因此,若股价到达F节点,就应提前执行 期权,从而F节点上的期权价值应为10.31元,而不是9.90元 用相同的方法可以算出各节点处的期权价值,并最终倒推算出初始节点处 的期权价值为4.48元 如果把期权有效期分成更多小时段,节点数会更多,计算会更复杂,但得出 的期权价值会更精确。当△t非常小时,期权价值等于4.29元 (五)二叉树方法的一般定价过程 下面给出用数学符号表示的二叉树期权定价方法,仍然以无收益证券的美式看 跌期权为例。假设把该期权有效期划分成N个长度为△t的小区间,令f(0≤运≤ N,0≤j≤i)表示在时间it时第j个节点处的美式看跌期权的价值,将f称为节点 (i,j)的期权价值。同时,用Snd表示节点(i,y)处的证券价格。由于美式看跌期 权在到期时的价值是max(X-Sr,0),所以有 f=max(X-Sad-,0),式中j=0,1,…,N 假定在风险中性世界中从节点(,)移动到节点(i+1,+1)的概率为p移动到 (i+1,j)的概率为1一p。假定期权不被提前执行,则节点(,)的期权价值为: f。=e[pf41,+1+(1-p)f+1,] 式中,0≤i≤N-1,0≤j≤i。由于美式期权有可能被提前执行,因此式中这样求出的 f必须与该节点提前执行期权的收益(X-Sud-)比较,并取两者中的较大者