第 沿得跟孩其 布克一器尔斯-默顿期权定价模型 期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的。自期权交易,尤其是股票期权 交易产生以来,学者们一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年,美国芝加哥大 学教授费雪·布莱克( Fischer Black)和梅隆·舒尔斯( Myron Scholes)发表《期权与 公司负债定价》①一文,提出了著名的布莱克舒尔斯期权定价模型,用于确定欧式股 票期权价格,在学术界和实务界引起了强烈反响,同年,罗伯特,默顿( Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型②,舒尔斯和默顿由此获得1997年 的诺贝尔经济学奖。本章将循序渐进,尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯默顿期 权定价模型(下文简称B7S-M模型),并由此导出衍生证券定价的一般方法 第一节布莱克-舒尔斯-默顿期权 定价模型的基本思路 由于本章内容丰富涉及随机过程等较为复杂的概念,在介绍具体内容之前,首 先对B-S-M模型的整体思路作一个简要的归纳,并用相对易于理解的方式表述出 来,以帮助读者更好地掌握期权定价的内容。测的 由于最终目标是为股票期权定价,而期权是其标的资产(即股票)的衍生工具,在 已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下,期权价格变化的 唯一来源就是股票价格的变化,股票价格是影响期权价格的最根本因素。因此,要研 究期权的价格,首先必须研究股票价格的变化规律。中 通过观察市场中的股票价格可知,股票价格的变化过程是一个随机过程。相 aD Black F Scholes. The pricing of options and corporte liabilities[]. Journal of Political Economy. 1973 81(3):637-659. o Robert C Merton, Theory of rational option pricing[J]. Bell Journal of Economics, 1973.4(1)1 ③简要地说,所谓随机过程,是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程,显然股票价格和期 权价格这两个变量的值都以某种不确定的方式随时间而变化,故此股票价格的变化和期权价格的变化过程都 是随机过程
194 金融工程 应地,受其影响的期权价格的变化过程也必然是一个随机过程。事实上,人们发现, 股票价格的变化过程可以用一种随机过程—几何布朗运动较好地加以描述,其 具体形式如下 猫宝对融慧一诚一克莱的 s Aattodz (11.1 本章的第二节将对式(11.1)进行深入的剖析,在这里只需明白,等式右边的第二 项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因素。 根据数学家伊藤(K.Ito)提出的伊藤引理( Ito Lemma)可知,当股票价格服从式 (11.1)时,作为股票衍生产品的期权价格f将服从 ++28)地+在(2 观察式(1.2),会发现影响期权价格的随机因素也完全体现在等式右边的第二 项中的dz上,这与我们的直觉是一致的:股票价格及其衍生产品期权价格都只 受到同一种不确定性的影响,其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也就是 对随机因素变化的反应程度不同。 分少个出数0(no 如果式(111)两边同时乘以5,并与式(12)相减,则可以消去dz项 正如在前面曾经谈到的,金融工程分析过程中的许多数学等式和数学变换都其 有丰富的金融内涵。式(11)的两边同时乘上并将两式相减消去dz,实际上意味 着买入单位的股票,并卖空1单位的期权,可以构造出一个短期内没有不确定性 的投资组合。而在一个无套利的市场中,一个没有不确定性的投资组合必然只能获 得无风险利率的收益。这样在数学上,就可以从(1119和(1.2)的联立方程组中解 出一个期权价格∫所满足的偏微分方程,求解这一方程,就得到了期权价格的最终 公式。下 以上就是期权定价模型推导过程的基本思路。理解这一思路,将有助于在下面 看似无关的数学推导中不会迷失方向,在本章第二节中,将介绍为什么以及如何将 几何布朗运动用于捕捉股票价格和期权价格的变化规律。本章第三节将推导出期权 价格∫所满足的布莱克舒尔斯默顿微分方程(简称B-S-M微分方程),讨论其中 蕴含的风险中性定价原理,并求解B-S-M微分方程得到期权定价公式。最后,在 本章第四节中,将简要讨论B-S-M模型的精确度与拓展。 o必须强调的是,经验事实证明,几何布朗运动只能说是较好地而罪完美地描述了股票价格的变化过程, 但从这个较为简单的随机过程开始,有助于循序渐进地了解期权定价的基本原理
第十一章布莱克一舒尔斯-默顿期权定价模型195 第二节股票价格的变化过程 人们通常用形如 中产 dt+adz 的几何布朗运动来描绘股票价格的变化过程,这是B-S-M期权定价模型的基础性 假设,也是金融中最普遍最重要的假设之一。在本节中,将从介绍几何布朗运动的相 关基础知识开始,分析其被选择用于描述股价变化的原因,之后运用伊藤引理推导出 几何布朗运动假设下期权所服从的随机过程。需要再次强调的是,几何布朗运动仅 仅是一种较好地贴近股票价格变化规律的假设 如前所述,几何布朗运动中最重要的是dz项,它代表影响股票价格变化的随机 因素,通常称之为标准布朗运动( standard Brownian motion)或维纳过程( Wiener rocess 、标准布朗运动 设△t代表一个小的时间间隔长度,△z代表变量z在△t时间内的变化,如果变 量z遵循标准布朗运动,则△z具有以下两种特征。 特征1:△z和△t的关系满足 (11.3) 式中,e~p[0,10,即c代表从标准正态分布(即均值为0、标准差为1的正态分布 中取的一个随机值。 待征2:对于任何两个不同时间间隔△t,△z的值相互独立。 从特征1可知,△z本身也具有正态分布特征,其均值为0,标准差为√△,方差 为△t;从特征2可知,遵循标准布朗运动的变量具有独立增量的性质。 进一步考察遵循标准布朗运动的变量z在一段较长时间T-t中的变化情形。 我们用z(T)-z(t)表示变量z在T-t中的变化量,它可被看做是在N个长度为△t 的小时间间隔中z的变化总量,其中N=(T-t)/△t,因此 x(7)-x(1)=∑e√a△ 式中,e,(i=1,2,…,N)是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知,e;是相互独 立的,因此z(T)-z(t)也具有正态分布特征,其均值为0,方差为N△t=T-t,标准 差为√T-t。 可见:①在任意长度的时间间隔T-t中,遵循标准布朗运动的变量的变化值服从 ①g(m,s)表示均值为m,标准差为s的正态分布,下文同
金融江程限一管一乘 均值为0、标准差为√T一t的正态分布。②在任意长度的时间间隔T一t中,方差具有 可加性,总是等于时间长度,不受△如何划分的影响,但标准差就不具有可加性。 当△t→0时,就可以近似得到极限的或者说连续的标准布朗运动 √at (11.4) 事实上,标准布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运 动的描述,以发现这种现象的英国植物学家罗伯特·布朗( Robert brown)命名。然 而,真正用于描述标准布朗运动的随机过程的定义是维纳( Wiener)给出的,因此标 准布朗运动又称维纳过程 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机因素呢?为通俗易懂起 见,下面将不加证明地直接引用维纳过程的一些数学性质来大致解释其在股票价格 建模中如此重要的原因。 首先,维纳过程中用c即标准正态分布的随机变量来反映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都近似于正态分布,加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场也不例外,经验事实证明,股 票价格的连续复利收益率近似地服从正态分布。这为维纳过程在股票价格随机过程 中的运用奠定了最重要的基础。 其次,数学上可以证明,具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过 程( Markov stochastic proces),这一点与金融学中的弱式效率市场假说不谋而合。 1965年,法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说,之后许多学者运用各种数据进行 实证分析发现,发达国家的证券市场大体符合弱式有效市场假说,即证券价格变动的 历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息,也就是说不能通过技术分析 获得超额收益。而这一点正好与马尔可夫过程的性质相符。 除了上述两个原因之外,维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分 ( quadratic variation)不为零的性质,与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质也 是相符的,由于所涉及的数学较为复杂,本书中就不再详述。 普通布朗运动 维纳过程描述了变量z的随机运动,然而现实生活中大部分变量的运动过程不 仅包括随机波动,还可能存在时间趋势等特征,而且随机波动的方差不一定等于时间 长度。因此,需要在维纳过程的基础上进一步引入普通布朗运动,以更好地描述随机 变量的运动特征。 为了得到普通布朗运动,必须引入两个概念:漂移率( drift rate)和方差率( vari- ance rate)。漂移率是指单位时间内变量均值的变化值。方差率是指变量单位时间 ①通俗地说,所谓马尔可夫过程,是指只有变量的当前值才与未来的预测有关,变量过去的历史和变量从 过去到现在的演变方式与未来的预测无关
第十一章布莱克一舒尔斯-默顿期权定价模型 197 的方差。 令漂移率为a,方差率为b2,就可得到变量x的普通布朗运动 (11.5) 式中,a和b均为常数,dz遵循标准布朗运动。式(11.5)表明遵循普通布朗运动的变 量x是关于时间和dz的动态过程。式中的第一项adt为确定项,意味着x的漂移率 是每单位时间为a;第二项bdz是随机项,它代表着对x的时间趋势过程所添加的噪 音,使变量x围绕着确定趋势上下随机波动,且这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。 从式(11.3)和(1.5)可知,在短时间△t后,x值的变化值△x为 △x=a△t+be√△t 因此,△x也具有正态分布特征,其均值为a△,标准差为b√△,方差为b2△。同样 在任意时间长度T-t后x值的变化也具有正态分布特征,其均值为a(T-t),标准 差为b√T-t,方差为b2(T-t),这个结论很重要,在下面将会运用到这一结论。 很显然,标准布朗运动的漂移率为0,方差率为1.0。漂移率为0意味着在未来 任意时刻z的均值都等于它的当前值;方差率为1.0意味着在一段长度为T的时间 段后,z的方差为1.0×T。标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例 三、伊藤过程与伊藤引理 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数,如果变量x的漂移率和方差率均为 变量x和时间t的函数,就说变量x服从伊藤过程( Ito proces) a(x, t)dt+b(x, t)dz (11.6) 式中,dz仍为标准布朗运动,a和b是变量x和t的函数,变量x的漂移率为a,方差 率为b2。 可以看到,伊藤过程的核心仍然是维纳过程。 在此基础上,伊藤进一步推导出:若变量x遵循伊藤过程,则变量x和t的函数 G(x,t)将遵循如下过程 ag aG 1aG (11.7) 式中,dz仍是一个标准布朗运动。可以看到,a+9C+12Gb和b都是x和t 的函数,因此函数G也遵循伊藤过程,漂移率”“2。9 x2b,方差率为 (C)b.这就是著名的伊藤引理° ①伊藤是一位数学家,他在1951年提出伊藤过程及下文的伊藤引理 ②式(1.07)的证明过程请参见 John C Hull. Options, futures, and other derivatives:8 th edition( Global Edition). New York: Pearson Education Inc, 2012: 297-298