第 期权的回报与价格分斬 章 一作为投资者,交易期权最关注的就是未来可能获得的收益、可能承担的风险和 期权价格的变化情形。本章将运用图形、公式和表格相结合的方式讨论期权的回报 与盈亏,并进一步对期权价格的可能分布区间及影响期权价格的主要因素进行深入 分析 第一节期权的回报与盈亏分布 本节将分析期权到期时多空双方的回报( payoff)与盈亏( gain or loss)分 布。这两个概念的区别在于,回报未考虑期权费,而盈亏则考虑了期权费对交易双 方最终收益状况的影响。从这一章开始,用X表示期权的执行价格,小写的c与p 表示欧式看涨期权与看跌期权价格,大写的C与P表示美式看涨期权与看跌期权 价格。除非另有定义,其他符号仍沿用第五章中的定义。 、看涨期权的回报与盈亏分布 以一个执行价格为40元的欧式股票看涨期权为例,期权到期时多头的回报和盈 亏分布如图10.1(a)所示。 可以看到,期权到期时,标的股票价格若高于执行价格40元,多头必然执行期 权,按40元买入股票获利,股票价格比40元高多少,多头就获得多少回报;若股票价 格低于40元,多头必然放弃权利,回报为零。由于不考虑期权费,看涨期权多头的回 报如图中的“期权回报”线所示,40元以下为零,40元以上则以45度角向右上方 延伸 在计算盈亏时,就要考虑付出的期权费成本(为分析方便,不考虑利息成本,下 同)。因此,看涨期权多头的盈亏线就要比回报线向下平移,平移量正是多头所支付 的期权费。值得注意的是,40元仍然是看涨期权多头是否执行期权的转折点,但只 有当股票价格涨到图中A点(称之为“盈亏平衡点”,等于执行价格加期权价格)以 后,期权多头才开始盈利。 由于期权合约是零和游戏( zero-sum games),期权多头和空头的回报和盈亏正
第十章期权的回报与价格分析173 期权回报 期权盈亏 执行价格 期权到期时的股价1 (a)欧式看涨期权多头的回报与盈亏 期权回报 期权盈亏 执行价格 期权到期时的股价 (b)欧式看涨期权空头的回报与盈亏 图10.1欧式看涨期权回报与盈亏分布 好相反,据此可以画出看涨期权空头的回报和盈亏分布,如图10.1(b)所示。 从图中可以看出,看涨期权多头的亏损风险是有限的,其最大亏损限度是期权 价格,而其盈利可能却是无限的。相反,看涨期权空头的亏损可能是无限的,而盈 利是有限的,其最大盈利限度是期权价格。期权多头以较低的期权费为代价换取 较大盈利的可能性,如同买了一个保险,这也是期权费( premium)在英文中为何与 保险费为同一个词的主要原因;而期权空方则为了赚取期权费冒着大量亏损的 风险。 二、看跌期权的回报与盈亏分布 执行价格为40元的欧式看跌期权的回报与盈亏分布如图10.2所示。显然,期 权到期时,标的股票价格若低于执行价格40元,多头必然执行期权,按40元卖出股 票获利,股票价格比40元低多少,多头就获得多少回报;若股票价格高于40元,多头 必然放弃权利,回报为零。由于不考虑期权费,看跌期权多头的回报如图10.2(a)中 的“期权回报”线所示,40元以上为零,40元以下则以45度角向左上方延伸。 由于考虑了付出的期权费成本,看跌期权多头的盈亏线也要比回报线向下平移, 平移量也是多头所支付的期权费。与看涨期权类似,40元仍然是看跌期权多头是否 执行期权的转折点,但只有当股票价格跌到盈亏平衡点B点(等于执行价格减期权
174金融工程回点 一执行价格 60 期权到期时的股价 (a)欧式看跌期权多头的回报与盈亏 期权回报 执行价格 -20 期权到期时的股价 b)欧式看跌期权空头的回报与盈亏 图10.2欧式看跌期权回报与盈亏分布 费)之下,期权多头才开始盈利 看跌期权也是零和游戏,多空双方的回报和盈亏正好相反,据此可以画出欧式看 跌期权空头的回报和盈亏分布,如图10.2(b)所示。 从图中可以看到,看跌期权多头的亏损风险是有限的,其最大亏损限度也是期权 价格;但其盈利可能并非无限,当标的资产价格为零时看跌期权多头的盈利最大,等 于执行价格减去期权价格。看跌期权空方的盈亏状况与多方刚好相反,盈利为有限 的期权费,亏损也是有限的,其最大限度为协议价格与期权价格之差 期权到期回报公式 除了回报与盈亏分布图,还可以用公式来描述期权到期的回报与盈亏状况。表 10.1给出了欧式期权到期回报与盈亏的计算公式。 对期权回报盈亏分布图与计算公式的深刻理解和认知是非常重要的,它们描述 了期权的本质特征、现代金融市场与现代经济中,很多期权以复合的或是复杂不易 辨别的产品形式存在,如在第九章介绍的内嵌期权和实物期权。对此类产品进行解 构、分析和管理的第一步,就是根据这些产品的回报判断其是否是期权,期权的标的 资产、执行价格、到期期限等要素如何。 立
第十章期权的回报与价格分析 175 表10.1欧式期权多空到期时的回报与盈亏 到期回报公式 头寸 到期盈亏公式 看涨期权 max(Sr-X, 0)-c 多 mxS-x,0)若到期价格Sr高于x,多头执行期权 获得差价;否则放弃期权,回报为零 看涨期权-max(Sr-X,0)若到期价格Sr高于x,多头执行期权 max(ST-X, 0)+c 空头 或 空头损失差价;否则多头放弃期权,空头 min(X-Sr,0)回报为零 min(X- ST, 0)-+c 看跌期权 若到期价格Sr低于X,多头执行期权 max(X- Sr, 0) 多头 获得差价;否则放弃期权,回报为零 max(X- Sr, 0)-p 看跌期权max(x-S,0)若到期价格S低于x,多头执行期权,一mx(x-S,0)+p 空头 空头损失差价;否则多头放弃期权,空头 min(sr-X,0)回报为零 min(ST-X,0)+p 第二节期权价格的特性 期权价格,是期权多头为了获取未来的某种权利而支付给空方的对价。期权价 的确定是一件复杂的工作。在分析期权定价之前,本节首先从多个角度对期权价 格进行分析,为下一章的期权定价分析奠定基础。 、内在价值与时间价值 期权价格(或者说价值),等于期权的内在价值加时间价值。 (一)期权的内在价值 期权的内在价值( intrinsic value),是0与多方行使期权时所获回报最大贴现值 的较大值。看涨期权的“所获回报”为S-X,看跌期权为X-S,这里的r是指多方 行使期权的时刻。0由于欧式期权和美式期权可执行的时间不同,其内在价值的计 算也就有所差异。 对欧式期权来说,多方只能在期权到期时决定行权与否并获得相应回报,故此 r=T。例如,欧式看涨期权的到期回报为max(Sr-X,0),如果标的资产在期权存 续期内无收益,Sr的现值就是当前的市价S;如果标的资产在期权存续期内支付已 知的现金收益,Sr的现值则为S-1,其中I表示在期权有效期内标的资产所获得的 现金收益贴现至当前的现值。由于X为确定现金流,其现值的计算就是简单的贴 ①在理论界与实务界存在不同的内在价值定义,其主要差异在于是否进行贴现。本书定义的内在价值与 众不同,此定义拥有众多优点,具体分析请参见本章附录
金融工程回限 现,故此欧式无收益和有收益资产看涨期权的内在价值分别为max[S-Xer,0] 与mxS-1-Xe作°,0]。欧式看跌期权内在价值的分析类似于欧式看涨期权。 由于多头随时可以执行期权,美式期权的情况有所不同: (1)对无收益资产美式看涨期权而言,执行期权的回报为S-X,这里的r是指 美式期权执行的时刻。由于S的贴现值恒为S,而X的贴现值等于Xe(0,r,为 当前t时刻到未来τ时刻间的无风险利率。可见,该期权回报最大贴现值就是S Xer°。因此其内在价值等于max(S-Xe-r°,0)。 (2)对有收益资产①美式看涨期权而言,若在除权日前一天行权,其回报是 S-X,其贴现值是S-Xe(”,可视其为到期日为r的短期欧式看涨期权;若不行 权,可将其视为到期日为T、股利现值为I的长期欧式看涨期权。由于美式期权持有 者可以选择两种行权策略中较有利者,因此有收益资产美式看涨期权的内在价值为 max(S-Xe-,n,S-1-Xex°,0)。 (3)对无收益美式看跌期权而言,其执行时的回报为X-S,显然其最大贴现值 为X-S,其内在价值就是max(X-S,0)。 (4)对有收益资产②美式看跌期权而言,如果立即执行,其回报的贴现值为X一 S,可视其为到期日为今天的短期欧式看跌期权;如果在刚派发红利之后的x执行,其 回报的现值为Xe,m0-(S-1),可将其视为到期日为r、股利现值为I的长期欧式 看跌期权。由于美式期权持有者可以选择两种行权策略中较有利者,因此有收益资 产美式看跌期权的内在价值为max(X-S,Xe,ro-(S-1,0) 表10.2归纳了期权内在价值的计算公式。 表10.2期权的内在价值 内在价值 内在价值 看式有收益m0x(s-1-Xe(T,0)//无收益max(xe(=-s,0) 欧无收益mx(S-Xer0,0) 式有收益max(xe-r-(s-D 涨 期美 无收益 mx(S-Xer-,0):期美 无收益 max(X-S, 0) 权式有收益 max(S-Xe,(r-n 权式\有收益xc0-(S-D,0) max(X-S, S-|-Xe-r-,0) 注:无收益是指期权存续期内标的资产无现金收益,有收益指期权存续期内标的资产有已知的现金收益 下同。 需要强调的一点是,由于期权多头拥有权利而没有任何义务,当市场价格对其不 利的时候多头可以放弃行权,所以期权的内在价值始终应大于零,因此我们此处使用 了最大化函数。 ①假设该资产只在r+1派发现值为I的股利 ②假设该资产只在r-1派发现值为I的股利