第 远期与期货定 章 衍生产品的定价( pricing)是金融工程最重要的内容之一,它指的是确定衍生产 品的理论价格。衍生产品的理论价格是市场参与者进行套期保值、套利和投机的依 据。在本章中,将运用“无套利定价法”这一金融工程的重要思想与方法对远期和期 货合约进行定价 第一节远期价格与期货价格 、远期价值、远期价格与期货价格 远期合约中规定的未来交易价格被称为“交割价格”。显然,远期协议一旦签订, 在协议到期之前交割价格是不会改变的。下面再引入“远期价值”( forward value)和 “远期价格”( forward price)的概念。 所谓远期价值,是指远期合约本身的市场合理价值。例如,一个交割价格为10 元、交易数量为100单位、距离到期日还有1年的远期合约,如果标的资产当前的市 场价格为15元,市场无风险连续复利率为10%,则对多头来说,该远期合约的价值 就为(15-10×e-0%×1)×100=595元。①对空头来说,该远期合约价值就为 595元 关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形。在签订远期合约 时,如果市场是有效的,对于一份公平的合约,多空双方所选择的交割价格应使远期 价值在签署合约时等于零。这意味着无须成本就可处于远期合约的多头或空头状 态。在远期合约签订以后,由于交割价格不再变化,多空双方的远期价值将随着标的 资产价格的变化而变化。显然,如果标的资产价格高于交割价格的现值,多方的远期 价值就是正的而空方的远期价值就是负的,反之亦然。 远期价格则是一个不同的概念。所谓远期价格,是指使远期合约价值为零的交割 价格。定义远期价格为F,前述例子中的远期价格就是使得(15-FXe-10%×1)×100 ①这里之所以贴现是因为多头要到}年后到期时才支付10元的交割价格
第三章远期与期货定价 0的F,简单计算可得F=16.58元。也就是说,当交割价格为16.58元时,该远期价值 才等于零 远期价格是理论上的交割价格。关于远期价格的讨论也要分远期合约签订时和 签订后两种情形。在一份远期合约签订时,如果实际交割价格不等于这个理论上的 远期价格,该远期合约价值对于多空双方来说就都不为零。也就是说,签订的当时即 有+方盈利而另一方亏损,是一份不公平的合约,实际上隐含了套利空间①。一份公 平合理的远期合约在签订的当时应使交割价格等于远期价格。在远期合约签订以 后,交割价格已经确定,远期合约价值不一定为零,远期价格也就不一定等于该交割 价格。前述例子中,远期价格与交割价格差异的贴现(16.58-10)×e-10%×)×100 595元,正好等于多头的远期价值。也就是说,远期合约签订后,远期价格与交割价 格差异的贴现决定了远期价值 总之,与传统理解的价值与价格的相互关系不同,远期价值是远期合约本身的价 值,而远期价格则是理论上使远期价值等于零的那个未来的交割价格。通过本章第 二节的定价讨论能够进一步帮助读者理解这两者的差异。 类似地,在期货合约中,定义期货价格( futures prices)为使得期货合约价值为零的 理论交割价格。因此期货价格是与远期价格非常相似的概念,它们都是定价时所讨论 对象。但值得注意的是,对期货合约来说,一般较少谈及“期货合约价值”这个概念。 基于期货的交易机制,投资者持有期货合约,其价值的变动来源于实际期货报价的变化 由于期货每日盯市结算每日结清浮动盈亏,因此期货合约价值在每日收盘后都归零 二、远期价格与期货价格的关系 由前述可知,本章中所讨论的远期和期货定价,就是要确定理论远期价值、远期 价格和期货价格。问题在于,远期价格与期货价格非常相似,都是理论交割价格,唯 的区别是远期和期货合约交易机制的不同:远期合约在签订之后就不再变化直至 到期交割清算;而期货合约则每日盯市结算结清浮动盈亏。那么远期价格和期货价 格是否差异很大,需要分别推导出全然不同的定价公式呢? 考克斯(Cox)等证明②,当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时,交割日相 同的远期价格和期货价格应相等。但是,当利率变化无法预测时,远期价格和期货价 格就不相等。至于两者孰高孰低,则取决于标的资产价格与利率的相关关系。 当标的资产价格与利率呈正相关时,期货价格高于远期价格。这是因为当标的 资产价格上升时,期货价格通常也会随之升高,期货合约的多头将因每日结算制而立 即获利,并可按高于平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下 ①具体套利方法参见本章第二节的内容 Q #9 Cox J C, Ingersoll J E, Ross S A. The relationship between forward prices and future prices. Journal of Financial Economics, 1981(12):321-346
金融工程已 跌时,期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损,但是可按低于平均利率的利率从 市场上融资以补充保证金。相比之下,远期合约的多头将不会因利率的变动而受到 上述影响。在此情况下,期货多头比远期多头更具吸引力,期货价格自然就大于远期 价格。相反,当标的资产价格与利率呈负相关时,远期价格就会高于期货价格。 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几 个月时,两者的差距通常很小。此外,税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、 流动性等方面的因素或差异也会导致远期价格和期货价格的差异。 总之,远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的,其差别主要体现在交 易机制和交易费用的差异上,在很多情况下常常可以忽略。因此在大多数情况下,可 以合理地假定远期价格与期货价格相等,并都用F来表示。在以下的分析中,对远 期合约的定价同样适用于期货合约。 、基本的假设与符号 (一)基本的假设 为分析简便起见,本章的分析是建立在如下假设前提下的: (1)没有交易费用和税收。 (2)市场参与者能以相同的无风险利率借人和贷出资金。 (3)没有违约风险。 (4)允许现货卖空 (5)当套利机会出现时,市场参与者将参与套利活动,从而使套利机会消失。 (6)期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花 成本地取得远期和期货的多头和空头地位。 (二)符号 本章将要用到的符号主要有: T:远期和期货合约的到期时刻 t:远期和期货合约到期前的某一时刻。T-代表远期和期货合约中以年为单 位的距离到期的剩余时间 s;远期(期货)标的资产在时间z时的价格 Sr:远期(期货)标的资产在时间T时的价格(在t时刻此为未知变量)。 K:远期合约中的交割价格 f:远期合约多头在t时刻的价值,即t时刻的远期价值。 F:时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格。在本书中 如无特别注明,二者分别简称为远期价格和期货价格。 r:T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率(年利率)。在本书中 如无特别说明,利率均为连续复利的年利率。 上述符号在全书中通用
第三章远期与期货定价 51 第二节无收益资产远期合约的定价 所谓无收益资产的远期合约,是指远期合约的标的资产在从时刻t到远期合约 到期时刻T之间不产生现金流收入,如贴现债券①。 、无套利定价法与无收益资产的远期价值 本章所用的定价方法为无套利定价法。基本思路为:构建两种投资组合,令其在未来 某一时刻的价值相等,则其现在的价值一定相等;否则就可进行套利,即卖出现在的价值 较高的投资组合,买入现在的价值较低的投资组合,并持有到期末,套利者就可赚取无风 险收益。众多套利者这样做的结果,将使现在的价值较高的投资组合价格下降,而现在的 价值较低的投资组合价格上升,直至套利机会消失,此时两种组合现在的价值相等。这 样,就可根据两种组合现在的价值相等的关系求出远期价格。 例如,为了给无收益资产的远期合约定价,构建如下两个组合: 组合A:一份远期合约②多头加上一笔数额为Ke“r°的现金 组合B:一单位标的资产 在组合A中,Ke“”的现金以无风险利率投资,投资期为T-t。到T时刻, 其金额将达到K。这是因为: Ke r-pe0=K。 在远期合约到期时,该笔现金刚好可用于交割换得一单位标的资产。这样,在T 时刻,两个组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则,这两个组合在t时刻的价 值必须相等,即: f+Ke -"=S f=s-K (3.1) 式(3.1)表明,无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价 格现在的价值的差额。换一个角度来看,这个数学等式也表明,一单位无收益资产远 期合约多头等价于一单位标的资产多头和Ke“单位无风险负债的资产组合。 二、无收益资产的现货-远期平价定理 由于远期价格F就是使远期合约价值∫为零的交割价格K,即当f=0时 F。据此可令式(3.1)中的f=0,则 这就是无收益资产的现货一远期平价定理(spot- forward parity theorem),或称现货 ①贴现债券是指在票面上不规定利率,发行时按某一折扣率、以低于渠面金额的价格发行,到期时仍按面 额偿还本金的偾券 ②该合约规定多头在到期日T可按交割价格K购买一单位标的资产
金融工程 期货平价定理(spot- futures parity theorem)。式(3.2)表明,对无收益资产而言,远 期价格等于其标的资产现货价格以无风险利率计算的终值。 我们用反证法证明等式(3.2)不成立时的情形是不均衡的。 ∩假设K>Se「°,即交易对手报出的交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下, 套利者可以按无风险利率r借入S现金,期限为T-t。然后用S购买一单位标的资产 同时卖出一份该资产的远期合约,交割价格为K。在T时刻,该套利者可将一单位标的资 产交割换得K现金,并归还借款本息Sc,从而实现K-Scr的无风险利润。 4若K<Se”,即交割价格小于现货价格的终值。套利者可进行反向操作,即卖 空标的资产,将所得收入以无风险利率r进行投资,期限为T-t。同时买进一份该标的 资产的远期合约,交割价格为K。在T时刻,套利者收到投资本息Se,并以K现金购 买一单位标的资产,用于归还卖空时借入的标的资产,从而实现Ser°-K的利润。 案例31和案例3.2可以帮助读者更好地理解远期价值和远期价格的计算。 【案例31】 无收益资产远期合约的价值 目前,6个月期的无风险年利率为4.17%。市场上正在交易一份标的证券为 一年期贴现债券、剩余期限为5个月的远期合约多头,其交割价格为970元,该债 券的现价为960元。请问:对该远期合约的多头和空头来说,运期价值分别是 多少? 根据题意,有 s=960,K=970,-4.17%,T-t=0.5 则根据式(3.1),该远期合约多头的远期价值f为 f=S-Ke“T0=960-970×c-41)x≈10.02元 该远期合约空头的远期价值为f=-10.02元。 么【案例3.2】 无收益资产远期合约的远期价格 目前,3个月期的无风险年利率为3.99%6,市场上正在交易一个期限为3个 月的股票远期合约,标的股票不支付红利且当时市价为40元。那么根据式 (3,2),这份远期合约的合理交割价格应为: F=40×c3=40,40元小 假设市场上该合约的交割价格为40.20元,则套利者可以卖空股票并将所得 收入以无风险利率进行投资,期末可以获得无风险利润40.40-40.20=0.20元。 反之,如果市场上远期合约的交割价格大于40,40元,如40.80元,套利者可以借 1入46元买入股票并以(0:80元的价格出远期合,期末也可以获得无风险利 润0.40元