函个中 第七章 互换的定价与风险分新 互换,既可以分解为债券的组合,也可以分解为一系列远期协议的组合。根据这 思路就可以对互换进行定价。与互换相联系的风险主要包括信用风险与市场 风险。 从第六章中已知,由于利率基准不同、现实市场中的互换在天数计算上存在一些 变化以及交易对手可能发生违约,因此互换的现金流是不确定的。为了集中讨论互 换的定价原理,在本节中计算时忽略天数,3个月以年计,半年以年计,一年以1 年计一面,一中 同时,根据国际市场上的惯例,在给互换和其他柜台交易市场上的金融工具定价 时,现金流通常用 LIBOR贴现。这是因为 LIBOR反映了金融机构的资金成本。这 样做的隐含假设,是被定价的衍生工具的现金流风险与银行同业拆借市场的风险相 同。由于国内互换市场刚刚起步,这里仍然以国际市场上的利率互换与货币互换为 例讨论互换的定价原理,故此使用 LIBOR作为贴现率。 ,平想第一节利率互换的定价 、利率互换定价的基本原理 考虑一个2011年9月1日生效的两年期利率互换,名义本金为1亿美元。甲银 行同意支付给乙公司年利率为2.8%的利息,同时乙 公司同意支付给甲银行3个月期LBOR的利息,利[甲银行28%乙公司 LIBOR 息每3个月交换一次,如图3所示 2011年9月1日互换协议签订时,交易双方并 图7.1甲银行与乙公司的 利率互换 不知道未来的二系列3个月期1BOR,假设事后得 ①由于利率互换和货币互换是最主要的互换品种,本章主要讨论这两类互换交易的定价与风险管理 问题
第七章互换的定价与风险分析 123 知此两年中的3个月期LBOR如表7.1(a)中的列(1)所示,从而可以得到甲银行在 此互换中每半年收到的浮动利息、支付的固定利息与净现金流,分别如表7.1(a)中 的列(2)、列(3)与列(4)所示。 表7.1利率互换中甲银行的现金流置表(百万美元) (a)不考虑名义本金1 日期 1BOR(%)浮动利息现金流固定利息现金流净现金流 2011,9,1 1.12.1( +0.53 2012.3.1(Ⅱ) 2012.6.1(Ⅲ) +0.67 2012.9.1(Ⅳ) 3.27 +0.74 +0.04 2012.12.1(V) +0.8 +0.12 2013.3.1(Ⅵ) +0.91 +0.21 20136.1(Ⅶ) 4.12 +0.97 +0.27 2013.9.1(Ⅷ) 4.75 1+1.03 +0.33 (b)考虑名义本金 日期 IBORO %)浮动利息和本金一固定利息和本金净现金流 现金沉(6) 现金流(7) 2011.9.1 2 ÷100 +100 2011.12.1(I) +0.53 2012.3.1(Ⅱ) 0.62 2012.6.1(m) 294 +0.67 2012.9.1(Ⅳ)3.271 +0.74 0.7 +0.0 2012.12.1(v) +0.82 0.7 +0.12 013.3.1(Ⅵ) +0.91 +0.21 2013.6.1(Ⅶ) 4 0 +0.27 2013:9.1(Ⅷ)4.751+1.03 0.7 +0.33 +100
24 金融工程合章少 6观察表7.1(a),可以从三个角度来理解该利率互换;民个三中非两当 中(1)该利率互换由列(4)的净现金流序列组成,这是互换的本质,即未来系列现 金流的组合。 (2)如果对列(4)的现金流按列进行拆分,该利率互换可以看做由列(2)和列(3) 的现金流序列组成。为了更好地理解,假设在互换生效日与到期日增加1亿美元的 本金现金流,列(2)和列(3)转化为表7.1(b)的列(6)与列(7)。从列(8)可见,由于相 互抵消,增加的本金现金流并未改变互换最终的现金流和互换的价值,但列(6)却可 以被视为甲银行向乙公司购买了一份本金1亿美元的以3个月期 LIBOR为浮动利 率的债券,列(7)则可以被看做甲银行向乙公司发行(出售)了一份本金1亿美元的固 定利率为2.8%的债券,3个月支付一次利息。这样,对甲银行而言,该利率互换事实 上可以看做一个浮动利率债券多头与固定利率空头头寸的组合,这个利率互换的价 值就是浮动利率债券与固定利率债券价值的差。由于互换为零和游戏,对乙公司来 说,该利率互换的价值就是固定利率债券价值与浮动利率债券价值的差。也就是说 利率互换可以通过分解成一个债券的多头与另一个债券的空头来定价。 (3)如果对列(4)的现金流按行进行拆分,该利率互换可以看做由从行(I)至行 (Ⅷ)共8次的现金流序列组成。观察各行,除了行(I)的现金流在互换签订时就已 经确定,其他各行的现金流都类似远期利率协议(FRA)的现金流。回忆在第三章与 第五章中所学的知识,FRA是这样一笔合约:交易双方事先约定将来某一时间一笔 借款的利率。但在FRA执行的时候,支付的只是市场利率与合约协定利率的利差。 如果市场利率高于协定利率,贷款人支付给借款人利差,反之由借款人支付给贷款人 利差。所以实际上FRA可以看成一个用事先确定的固定利率交换市场利率的合 约。很明显,利率互换可以看成是一系列用固定利率交换浮动利率的FRA的组合。 例如,行(Ⅱ)的利息交换可以看做是一笔2012年3月1日到期,以2.8%交换2011 年12月1日确定的3个月期 LIBOR的FRA,行(V)则是一笔2012年12月1日到 期,以2.8%交换2012年9月1日确定的3个月期 LIBOR的FRA。从这个角度来 说,利率互换可以通过分解成一系列远期利率协议的组合来定价。只要知道组成利 率互换的每笔FRA的价值,就可以计算出利率互换的价值。 由上可见,利率互换既可以分解为债券组合,也可以分解为FRA的组合进行定 价。由于都是列(4)现金流的不同分解,在不考虑不同产品的信用风险和流动性风险 差异的情况下,这两种定价结果必然是等价的。在下文的例子中,也将看到这一点。 显然,无论是计息天数比较复杂还是付息频率有所不同,都不影响上述运用债券 组合或FRA组合来给利率互换定价的基本原理。 具体来看,与远期合约相似,利率互换的定价有两种情形。第一,在协议签订后 的互换定价,是根据协议内容与市场利率水平确定利率互换合约的价值。对利率互 换协议的持有者来说,该价值可能是正的,也可能是负的。第二,在协议签订时,一个 公平的利率互换协议应使得双方的互换价值相等。也就是说,协议签订时的互换定
第七章互搡的定价与风险分析125 价,就是选择一个使得互换的初始价值为零的固定利率。下面分别进行介绍 二、协议签订后的利率互换定价个实 (-)运用债券组合给利率互换定价 一个)求的 定义 Ba为互换合约中分解出的固定利率债券的价值。 Bn为互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。 对于互换多头,也就是固定利率的支付者(如上例中的甲银行)来说,利率互换的 价值就是 V换=Bn-B 反之,对于互换空头,也就是浮动利率的支付者(如上例中的乙公司)来说,利率 互换的价值就是 Vxa=Bix-Ba 这里固定利率债券的定价公式为 Bm=∑kew+Ae (7.3) 式中,A为利率互换中的名义本金额,为现金流交换日交换的固定利息额,n为交 换次数,为距第i次现金流交换的时间长度(1≤i≤n),则为到期日为t的 LIBOR连续复利即期利率。显然固定利率债券的价值就是未来现金流的贴现和。 这里为了与全书保持一致,使用了连续复利的贴现计算方式。 浮动利率债券的定价公式则为 Bn=(Atk') 1 (7.4) 式中,k为下一交换日应交换的浮动利息额(这是已知的),距下一次利息支付日则 还有t1的时间。 理解公式(7.4)并不难。在浮动利率始终等于该债券的合理贴现率的条件下, 第一,在浮动利率债券新发行时,该债券的价值就等于它的面值;第二,在任一重 新确定利率的时刻,付息之后的浮动利率债券价值就等于新发行的同期限的浮动 利率债券面值,付息之前的浮动利率债券价值就等于面值A加上应付利息k”;第 三,根据证券定价的一般原理,在不考虑流动性因素的情况下,选定证券存续期内 的任一时点,证券的价值等于该时刻的证券价值加上现在到该时点之间现金流的 贴现值。在为浮动利率债券定价时,选定下一个付息日为未来时点,这样就得到了 公式(7.4)。 案例7.1给出了一个运用债券组合给利率互换定价的例子
金融工 【案例7 利率互换的定价:运用债券组合边 假设在一笔利率互换协议中,某一金融机构支付3个月期的LBOR,同时收 取4.8%的年利率(3个月计一次复利),名义本金为1亿美元。互换还有9个月 的期限。目前3个月、6个月和9个月的 LIBOR(连续复利)分别为4.8%、5%和 5.1%。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。 在这个例子中,k=120万美元,因此 B==120e0%￥12080×+101200×07=9975.825(万美元) 由于互换刚好还有9个月的期限,处于重新确定利率的时刻,因此Bn 10000(万美元) 因此,对该金融机构而言,此利率互换的价值为 9975.825-10000=-24.175(万美元) 显然,对该金融机构的交易对手来说,此笔利率互换的价值为正,即24.175 万美元。 (二)运用远期利率协议给利率互换定价 根据式(5.14),对于收取固定利息的交易方,FRA的定价公式为 [Ae'kr-n-Aer-DJe 更确切地理解,t时刻FRA的价值等于约定利率rk与T至T时刻远期利率rp 差异导致的息差现值。因此,要运用FRA给利率互换定价,只要知道利率期限结 构,从中估计出FRA对应的远期利率与息差现值,即可得到每笔FRA的价值,加总 就可以得到利率互换的价值。案例7.2就案例7.1中的相同情形给出了运用FRA 定价的计算过程。可以看到,两种方法确定的互换价值是相等的。 么【案例7.2】 利率互换的定价:运用FA组合 电面长 假设在一笔利率互换协议申,某一金融机构支付3个月期的 LIBOR,同时收 取8%的年利率(3个月计一次复和,名义本会为亿美元,互换还有9个 的期视、目前3个月、6个月和个月的1BOR(连续复利)分别为48%、5%和 5,1%。试计算此笔利串互换对该金融机构的价值 根据案例7,1中的情形,用表,2列示了具体的计算过程。为了与公式一 致,表中的利率均为连续复利。其中,3个月计一次复利的4.8%对应的连续复利 利率分别为 =4.77%