1.1.复变函数与复数运算 11/59回 1.12无限远点* 大定义:在复平面上复数的模为无限大 的复数所对应的点 理解:测地投影、复数球 前面我们将模为有限的复数跟复数平面上的有限远点一一对应起 来,在复变函数论中,通常还将模为无限大的复数也跟复数平面上的 点相对应,并且称这一点为无限远点.关于无限远点,可作如下理 解.把一个球放在复数平面上,球以南极S跟复数平面相切于原点, 如图所示.在复数平面上任取一点A,它与球的北极N连线跟球面相 交于A.这样,复数平面上的有限远点跟球面上N以外的点一一对 应了起来.这种对应关系叫作测地投影,这个球叫作复数球,设想A 点沿着一根通过原点的直线向无限远移动,对应的点A就沿着一根 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §1.1. EC¼êEê$ 11/59 1.1.2 Ã:∗ ✿ ½. Â. µ3E²¡þEê à Eê¤éA: ✿ n. ). µÿ/ÝK!Eê¥. c¡·ò kEêE겡þk:éAå 5§3EC¼êØ¥§Ï~ò ÃEêE겡þ :éA§¿ ¡ù:Ã. . . :. ©'uÃ:§Xen )©r¥3E겡þ§¥±H4 S E겡u:§ X㤫©3E겡þ?: A§§¥4 N 륡 u A 0©ù§E겡þk:¥¡þ N ± :é A å5©ù«éA'Xÿ. /. Ý. K. §ù¥E. ê. ¥. § A :÷XÏL:ãħéA: A 0 Ò÷X
1.1.复变函数与复数运算 12/59回 子午线(经线向北极N逼近.如果A沿着另一根通过原点的直线向无 限远移动,则A′沿着另一根子午线向北极N迫近.其实,不管A沿 着什么样的曲线向无限远移动,A总是相应地沿着某种曲线逼近于 N.因此,可以把平面上的无限远看作一点,即通过测地投影而跟复 数球上北极N相应的那一点.我们把无限远点记作∞,它的模为无 限大,它的辐角则没有明确意义 1.13复数的运算 假设有两个复数 Z1 =x1 ly 2=x2+y2 1.和 定义: z=z1+z2=(x1+x2)+i(1+y2), (1.1-6) ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §1.1. EC¼êEê$ 12/59 fÌ(²)4 N %C©XJ A ÷X,ÏL:à £Ä§K A 0 ÷X,fÌ4 N ½C©Ù¢§Ø+ A ÷ XoãħA 0 o´A/÷X,«%Cu N©Ïd§±r²¡þÃw:§=ÏLÿ/ÝK E ê¥þ4 N A@:©·rÃ:P ∞§§ à §§ËKvk²(¿Â© 1.1.3 Eê$ bküEê z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 1. Ú ½Â: z = z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2), (1.1-6)
1.1.复变函数与复数运算 13/59回 复数的和满足交换律和结合律.几何意义:两个复数的和所对应的矢 量等于两个复数对应矢量之合矢量因此 lz1+z≤kz1+|z2 (1.1-7) 2.差 定义 =z1-z2=(x1-x2)+i(1-y2) 其几何意义类似于和运算因此,必然有 z1-x≥|z1-|z2l (1.1-9) 3.积 定义 z=x13=(x1x2-yy2)+i(x1y2+x2y1) (1.1-10) 满足交换、结合律与分配律 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §1.1. EC¼êEê$ 13/59 EêÚ÷vÆÚ(ÜÆ. AۿµüEêÚ¤éA¥ þ uüEêéA¥þÜ¥þ.Ïd |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|. (1.1-7) 2. ½Â: z = z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2) (1.1-8) ÙAÛ¿ÂaquÚ$.Ïd,7,k |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|. (1.1-9) 3. È ½Â: z = z1 z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1) (1.1-10) ÷v!(ÜÆ©Æ.
1.1.复变函数与复数运算 14/59回 4.商 定义 71x1x2+yy2,:x2y1-x1y2 2+y2 +y2 (1.1-11) 用复数的三角式或指数式能更方便表示乘、除、乘方和开方运算 Z1Z2=P1P2lcos((p1 +(2)+isin(1 +(p2) (1.1-12) Pipe( 1+92) (1.1-13) [cos(( -(P2)+isin(1 -(2) i(q1-q2) (1.1-15) p"(cos ncp +i sin np) (1.1-16) (1.1-17) ⅴz=(cos+isin ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §1.1. EC¼êEê$ 14/59 4. û ½Âµ z = z1 z2 = x1x2 + y1y2 x 2 2 + y 2 2 + i x2y1 − x1y2 x 2 2 + y 2 2 (1.1-11) ^Eênª½êªUBL«¦!Ø!¦Úm$ z1 z2 = ρ1ρ2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)] (1.1-12) = ρ1ρ2e i(ϕ1+ϕ2) (1.1-13) z1 z2 = ρ1 ρ2 [cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)] (1.1-14) = ρ1 ρ2 e i(ϕ1−ϕ2) (1.1-15) z n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ) (1.1-16) = ρ n e inϕ (1.1-17) √n z = √n ρ(cos ϕ n + i sin ϕ n ) (1.1-18)
1.1.复变函数与复数运算 15/59回 (1.1-19) 由于ⅴ的幅角可以加减的整数倍,所以可以取n个不同 的值 复数可用实部和虚部表示,故复数的研究可归结为对应实数的研 究 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §1.1. EC¼êEê$ 15/59 = √n ρe i ϕ n . (1.1-19) du √n z ̱\~ 2π n ꧤ± √n z ± n ØÓ . Eê^¢ÜÚJÜL«,EêïÄ8(éA¢êï Ä